Mapa continuo en $\mathbb{R}^2$ tiene una (escala) punto fijo

Question

Que $\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ ser un mapa continuo.

¿Cómo pruebo que existen $a>0$ y $x\in\mathbb{R}^2$ tal que $\phi(x)=ax$?

Lo que sé:
Pensé que tal vez esto se puede demostrar por contradicción. Así que suponer que no existe $x$ tal que $\phi(x)=ax$. ¿Cómo continúo?
También esta pregunta me hace pensar de Teorema del punto fijo de Brouwer, ¿puedo utilizar la estrategia de su prueba?

Answer 1

Sí, se puede reutilizar el teorema del punto fijo de Brouwer. Que $\bar{\phi} : D^2 \to \mathbb{R}^2$ sea la restricción de $\phi$ $D^2 = { x \in \mathbb{R}^2 \mid |x| \le 1 }$ (para cualquier norma que quieras, generalmente la norma de #% de #% %). $L^2$ Es compacto, $D^2$ alcanza un máximo.

• O $|\bar{\phi}|$, en cual caso $\max |\bar{\phi}| = 0$;
• O $\bar{\phi}(0) = 0 = 1 \cdot 0$, en el cual caso el mapa $a = \max |\bar{\phi}| > 0$$$x \mapsto \frac{\bar{\phi}(x)}{a}$D ^ \to D^2$ is a map $|\frac{\bar{\phi}(x) 2} {un} \ | \le 1 $ (because $x \in D^2$). Hence by Brouwer's fixed point theorem, it has a fixed point $\bar{\phi} (x) /a = x$, i.e. $\phi(x) = ax$.