Demostrar que para cada entero positivo $n$, $1/1^2+1/2^2+1/3^2+\cdots+1/n^2\le2-1/n$

Question

Caso de la base: n = 1. $1/1\le 2-1/1$. Así es el caso base.

Que $n=k\ge1$ y asumir

$$1/1^2+1/2^2+1/3^2+\cdots+1/k^2\le 2-1/k$$

Queremos probar esto $k+1$, es decir

$$(1/1^2+1/2^2+1/3^2+\cdots+1/k^2)+1/(k+1)^2\le 2-\frac{1}{k+1}$$

Esto es donde me han pegado. Cualquier ayuda apreciada.

Answer 1

Para el paso de la inducción, todo lo que necesitas es $$ 2-\frac {1} {k} + \frac {1} {(k+1) ^ 2} \leq 2-\frac {1} {k+1}. $$ Que equivale a $$ \frac{1}{k}-\frac{1} {(k+1) ^ 2}-\frac {1} {k+1} \geq 0 $$ es decir $ \frac{(k+1)^2-k-k(k+1)} {k(k+1) ^ 2} = \frac {1} {k(k+1) ^ 2} \geq 0. $$ Por lo que tiene.

Answer 2

$\displaystyle \frac{1}{i^2}

Así que tenemos $\displaystyle 1+\sum{i=2}^{k}\frac{1}{i^2}\le 1+\sum{i=2}^{k}(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i})=2-\frac{1}{k}$

Creo que esto es mejor que la inducción.

Answer 3

Supongamos que es verdad $k$. Entonces $\sum_{i=1}^k\dfrac{1}{i^2}\leq2-\dfrac 1 k$

Vamos a intentar $k+1$.

$\sum{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{i^2}=\sum{i=1}^k\dfrac{1}{i^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leq2-\dfrac 1 k+\dfrac{1}{(k+1)^2}$

$\dfrac{1}{(k+1)^2}-\dfrac 1 k

$\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{i^2}\leq2-\dfrac{1}{(k+1)^2}$ que demuestra que es verdad $k+1$.

Answer 4

Daré sólo un toque. Cuando te quedas atascado, tiene por hipótesis de inducción que $$1/1^2+\ldots+1/k^2\leq 2-1/k$ $ sustitución en $$1/1^2+\ldots+1/k^2+1/(k+1)^2$ $ te da $$1/1^2+\ldots+1/k^2+1/(k+1)^2\leq 2-1/k+1/(k+1)^2$ $ y luego, tienes sólo probar $$2-1/k+1/(k+1)^2\leq 2-1/(k+1)$ $, creo que podrás reescribir la desigualdad con el fin de probarlo.