Mi pregunta es, como en el título. Es decir, considerar la solución de la ecuación de $x^2-6=0$ $\mathbb{R}$ y en el 5-ádico de campo $\mathbb{Q}_5$ respectivamente. Podemos obtener un $\sqrt{6}\in\mathbb{R}$ e una $\sqrt{6}\in\mathbb{Q}_5$. Podría usted decirme si el real $\sqrt{6}$ y el 5-ádico número $\sqrt{6}$ son iguales el uno al otro? Muchas gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La cuestión de si dos "números" son "iguales" es un poco sutil.
Por ejemplo, permite trabajar con un simple número, a saber, "2".
Ciertamente,$2\in\mathbb{Z}$, pero también se $2\in\mathbb{Q},2\in\mathbb{R}$. Por supuesto, todos son llamados con el mismo nombre, y la satisfacción de algunas de las mismas propiedades: Por ejemplo, en las tres situaciones, $2 = 1+1$, y, de hecho, a uno le dicen a menudo que los tres 2 son "el mismo".
Sin embargo, en $\mathbb{Z}$, no hay solución a la ecuación de $2x = 1$, mientras que no existe en $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$, es decir, "de 1/2".
Del mismo modo, en $\mathbb{Q}$, 2 no tiene una raíz cuadrada, mientras que lo hace en $\mathbb{R}$.
¿Significa esto que la $2\in\mathbb{Z},2\in\mathbb{Q},2\in\mathbb{R}$ son todos diferentes?
Como otro ejemplo, en $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, es común la etiqueta de los elementos $\{0,1,2,3\}$, $2\in\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ satisface la ecuación "2+2+2 = 2", que por supuesto no es satisfecho en $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$.
En este punto, uno es llevado a considerar - "¿Qué queremos decir por 2?"
Después de todo, el símbolo "2" es simplemente un número arábigo. Por sí mismo no tiene ningún significado, hasta que asociar el símbolo de una idea. En este caso, a menudo la idea asociada a "2" es la suma de $1+1$, donde 1 es la identidad multiplicativa en su anillo. Por la definición de un anillo (con la unidad), una identidad multiplicativa existe, y siempre podemos añadir dos elementos de un anillo para obtener un elemento del anillo, y por lo tanto $1+1$ existe como un elemento en el ring, a las que llamamos "2".
PUNTO: los Símbolos como "$2$", o "$\sqrt{2}$" son sólo símbolos - que son las etiquetas que señalan a las ideas que tenemos en nuestra mente. Eso realmente no tiene sentido comparar las etiquetas. Por ejemplo, podríamos haber optado por el uso de "2" para referirse al número de $1+1+1\in\mathbb{Z}$. Significaría eso que de repente se $1+1 = 1+1+1\in\mathbb{Z}$? Por supuesto que no.
Por lo tanto, en lugar de comparar las etiquetas, deberíamos comparar "ideas". ¿Por qué es razonable decir que el $2\in\mathbb{Z}$ es igual a $2\in\mathbb{Q}$? Por otro lado, $2\in\mathbb{Z}$ no es "igual" a $2\in\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ si son iguales, entonces ¿por qué es $2+2+2=2$ válido sólo en $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, pero no $\mathbb{Z}$?
La respuesta, por supuesto, es que en el primer caso hay un inyectiva anillo homomorphism $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$, lo que nos permite pensar de $\mathbb{Z}$ como un sub-anillo de $\mathbb{Q}$, sin pérdida de la información, mientras que por supuesto no hay ningún tipo de infiltración entre el$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$.
Así, cuando nos preguntamos: Es $2\in\mathbb{Z}$ igual a $2\in\mathbb{Q}$, lo que significa realmente es: Es la imagen de $2\in\mathbb{Z}$ bajo la inyección de $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ el mismo que $2\in\mathbb{Q}$?
PUNTO: sólo Se puede preguntar si dos objetos $x,y$ son iguales, si $x,y$ pertenecen al mismo conjunto. Si $x,y$ no pertenecen a la misma serie, a continuación, usted debe encontrar una manera de pensar acerca de ellos, como tendidos en el mismo conjunto. Por ejemplo, vamos a considerar los anillos $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$$\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$. Es $\sqrt{2}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ igual a $x\in\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$? En primer lugar, los dos objetos tienen claramente diferentes "etiquetas" ("$\sqrt{2}$" vs "$x$"). Pero, por otro lado, podemos ver $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ como mentir en $\mathbb{R}$, y del mismo modo se puede inyectar $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$ a $\mathbb{R}$ mediante el envío de $x\mapsto \sqrt{2}$, punto en el cual podemos ver que $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es "igual" a $x\in\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$ en relación a estas inyecciones. Tenga en cuenta que nosotros pudiéramos tener la misma facilidad elegido la inyección de $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)\hookrightarrow\mathbb{R}$ envío de $x\mapsto -\sqrt{2}$, momento en el que en lugar tendríamos que $x\in\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$ es igual a $-\sqrt{2}$
Finalmente, llega a tu pregunta original: ser capaz de comparar los $\sqrt{6}\in\mathbb{R}$$\sqrt{6}\in\mathbb{Q}_5$, uno debe primero encontrar un "más grande" campo de $K$ e inyecciones $\mathbb{R}\hookrightarrow K$$\mathbb{Q}_5\hookrightarrow K$.
Es conocido que existen tales inyecciones si $K = \mathbb{C}$, pero es imposible "describir" las inyecciones totalmente en un número finito de símbolos. Sin embargo, incluso aquí, ¿qué quieres decir con $\sqrt{6}\in\mathbb{Q}_5$? Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}_5$ no es una orden de campo (principalmente porque contiene una raíz cuadrada de $-1$), y por lo tanto usted no puede simplemente decir que $\sqrt{6}$ es la "positiva" la solución a $X^2-6$. Sin embargo, es seguro decir que, bajo las inyecciones $\mathbb{R}\hookrightarrow \mathbb{C}$$\mathbb{Q}_5\hookrightarrow\mathbb{C}$, la imagen de $\sqrt{6}\in\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ es igual a la imagen de UNO de los (dos) soluciones de $X^2-6$$\mathbb{Q}_5$$\mathbb{C}$.
EDIT: A la dirección de su pregunta en los comentarios, se nota que hay una diferencia entre "formal de la serie de laurent" (laurent = potencia de la serie que le permiten a un número finito de poder negativo de los términos) y "laurent de la serie". El primero se refiere a un elemento de un anillo de la forma $R((X))$, mientras que el segundo se refiere al límite de las sumas parciales $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^n a_ip^i$, $k\in\mathbb{Z}$.
Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}_5$ es NO formal de la serie de laurent de anillo. Sin embargo, es cierto que cada 5-ádico número es el límite de las sumas parciales de la forma $\sum_{i=k}^n a_ip^i$, pero a decir de esto, es necesario especificar una topología/métrica, que $p$-ádico números son, naturalmente, equipado con. Sin embargo, esta topología es muy diferente de la topología en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Como resultado, no hay ningún continua inyección de $\mathbb{Q}_5\hookrightarrow\mathbb{C}$, y por lo tanto no hay manera de expresar $\sqrt{6}$ como laurent serie en potencias de 5 en $\mathbb{C}$.
EDIT 2: Si $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$ puede ser incrustado en $\mathbb{Q}_5$
