¿Por qué este grupo de acción de una de morfismos de variedades?

Question

Estoy estudiando una prueba de que cualquier afín conectado algebraica de grupo es un subgrupo cerrado de algunos $GL_n$, y estoy atascado en un punto fino.

Deje $G$ ser afín algebraica de grupo en el sentido de que es un grupo y también una variedad afín a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$, y de tal manera que la multiplicación de mapa de $G\times G\rightarrow G$ e inversa mapa de $G\rightarrow G$ son morfismos de variedades. Supongamos que también está conectada.

$G$'s de la acción en sí misma por la derecha o a la izquierda) multiplicación induce una acción de $G$ en sus coordinar anillo de $k[G]$. Me han convencido por la prueba de la que estoy estudiando que existe un número finito-dimensional $k$-lineal subespacio $W\subset k[G]$ $G$- invariante y en que $G$ actos de fidelidad: esencialmente, si $f_1,\dots,f_m$ $k$- álgebra de los generadores de $k[G]$, entonces todas las $g(f_i)$'s de vivir en un finito-dimensional subespacio de $k[G]$ y esto es $W$. Esto nos da una inclusión

$$\varphi:G\hookrightarrow GL(W)$$

de modo que $G$ se realiza como un subgrupo de $GL(W)\cong GL_n$$n=\dim W$. El argumento que estoy estudiando ahora afirma que $\varphi$ es una de morfismos (con la variedad de la estructura en $GL(W)$ dado por su identificación con los $GL_n\subset k^{n\times n}\cong \mathbb{A}_k^{n^2}$) y deduce que la imagen de $\varphi$ es una subvariedad cerrada de $GL(W)$. Creo que el argumento de la excepción de que estoy teniendo problemas para explicar a mí mismo por qué $\varphi$ tiene que ser una de morfismos.

¿Por qué es $\varphi$ un morfismos?

Aquí están mis (muy pocos) los pensamientos hasta el momento: la selección de una base $w_1,\dots,w_n$$W$, podemos describir la $g$-acción en $W$ en términos de su acción sobre la base de:

$$ g(w_i)=\sum_j c_{ij}(g)w_j$$

A continuación, $g\mapsto (c_{ij}(g))$ es una descripción explícita de $\varphi$. $c_{ij}:G\rightarrow k$ es el retroceso de la $ij$th función de las coordenadas en $GL(W)$ bajo $\varphi$. Necesito saber que esta es una función regular en $G$. Se debe estar implícita en el hecho de que la multiplicación de mapa de $G\times G\rightarrow G$ es una de morfismos.

Esto sería suficiente. Técnicamente yo también necesitan saber que el pullback de $1/\delta$ es regular, donde $\delta$ es el determinante de la función en $GL(W)$ (esto es debido a que el anillo de coordenadas de $GL(W)$ es generado por el coordinar las funciones y $1/\delta$). Sin embargo, se desprende de lo $c_{ij}$ regular para cada una de las $i,j$, debido a la retirada de $1/\delta$$1/\det (c_{ij}(g))$. Si el $c_{ij}$ son todos regulares, a continuación, $\det (c_{ij})$ es regular, y nonvanishing, por lo $1/\det (c_{ij})$ es regular.

Eso es lo máximo que he conseguido. Gracias de antemano.

Answer 1

Dado cualquier finito dimensional espacio vectorial $V$ con base $\{e_1, \ldots, e_n\}$ y algebraica de la acción $\phi\colon G \times V \to V$ la inducida por el mapa de $\phi\colon G \to \operatorname{GL}_n(k)$ es una de morfismos de variedades.

Como usted dijo que sólo necesitan demostrar que la composición de la $c_{ij} = x_{ij}\phi$ $\phi$ con la función de coordenadas $x_{ij}$ dando la $(i, j)^\text{th}$ entrada de la matriz es regular. Pero esto es cierto porque las $c_{ij}$ es una composición de funciones regulares: $$\begin{matrix}G & \xrightarrow{g \mapsto (g, e_j)} & G \times V & \xrightarrow{\quad\phi\quad} & V & \xrightarrow{\quad x_i\quad} & k\end{matrix}$$ donde $x_i$ es dual a $e_i$.