Expresando una línea de Wilson de representación adyacente en términos de la representación fundamental

Question

Estoy trabajando en algunos cálculos con líneas de Wilson, definidas como integrales exponenciales ordenadas por trayectorias de un campo de calibre:

$$U = \mathcal{P}\exp\biggl(ig\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x^\mu T^c A_{c\mu}\biggr)$$

Aquí $g$ es el factor de vértice para interacciones fuertes, $A_{c\mu}$ es el campo de gluones que lleva un índice $\mathrm{SU}(3)$ $c\in\{1,\ldots,8\}$ y un índice de Lorentz $\mu$, y $T^c$ es un generador $\mathrm{SU}(3)$ en la representación fundamental. (Los índices repetidos se suman, como de costumbre.) También puedo escribir el equivalente en la representación adjunta,

$$W = \mathcal{P}\exp\biggl(ig\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x^\mu \tilde{T^c} A_{c\mu}\biggr)$$

donde ahora $\tilde{T^c}$ es un generador $\mathrm{SU}(3)$ en la rep. adjunta.

Estoy tratando de probar la identidad

$$\boxed{W^{ab} = 2\operatorname{Tr}\bigl[T^a U T^b U^\dagger\bigr]}$$

pero estoy algo atascado en cómo manejar los generadores en los exponenciales.

Hasta ahora veo dos posibles formas de abordar esto: puedo usar la identidad $(\tilde{T^c})^{jk} = 2i\operatorname{Tr}\bigl(T^c\bigl[T^j,T^k\bigr]\bigr)$ para escribir

$$W^{ab} = \mathcal{P}\exp\biggl(ig\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x^\mu (2i)\operatorname{Tr}\bigl(T^c\bigl[T^a,T^b\bigr]\bigr) A_{c\mu}\biggr)$$

y luego intentar separarlo en dos factores de la forma $TU$, pero creo que necesito al menos alguna identidad como

$$T^a \mathcal{P}\exp\bigl(i T^c X_c\bigr) \overset ?= \mathcal{P}\exp\bigl(i (\text{algo}) X_c\bigr)$$

y no puedo encontrar una.

Alternativamente, puedo comenzar desde el otro lado y expandir hasta el primer orden,

$$\begin{align} 2\operatorname{Tr}\bigl[T^a U T^b U^\dagger\bigr] &\approx 2\operatorname{Tr}\biggl[T^a \biggl(1 + ig\int\mathrm{d}x^\mu T^c A_{c\mu}\biggr)T^b \biggl(1 - ig\int\mathrm{d}x^\mu T^c A_{c\mu}\biggr)\biggr] \\ &= 2\operatorname{Tr}\biggl[T^a T^b + ig\int\mathrm{d}x^\mu \bigl(T^c \bigl[T^b, T^a\bigr]\bigr) A_{c\mu}\biggr]\quad\text{(propiedad cíclica en la traza)} \\ &= \delta^{ab} + g\int\mathrm{d}x^\mu (\tilde{T^c})^{ab} A_{c\mu} \end{align}$$

lo cual se acerca, pero esto me deja sin un factor necesario de $i$, y además es solo aproximado, ya que no hay razón para asumir que los términos de orden superior se anularán por completo (por ejemplo, no hay límite $g\to 0$ o algo así).

¿Alguien puede sugerir otro método o completar los espacios en blanco?

Answer 1

Para SU(N), la representación adjunta se puede obtener a partir de un producto tensorial de la representación fundamental con su dual y proyectando hacia afuera el escalar. Por lo tanto, podemos reemplazar los índices de la representación adjunta $a, ...$ por índices dobles $i \bar{j}$ y escribir esta relación como:

$$W^{i \bar{j}}_{k \bar{l}} = U^i_k U^{\dagger j}_l - \frac{1}{N} \delta^i_k \delta^j_l$$

(El factor $\frac{1}{N}$ se puede obtener tomando las trazas en el caso $U=\mathbb{1}$).

Por otro lado, los generadores del álgebra de Lie son las matrices hermitianas sin trazas, que tienen la siguiente forma en la notación de índices dobles:

$$ T^{i\bar{j}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(E^{ij} - \frac{\mathbf{1}}{N} \delta^{ij})$$

El prefactor consiste en una normalización estándar y $\mathbb{1}$ es la matriz unitaria en la representación fundamental.

Sustituyendo la segunda ecuación en la identidad requerida se obtiene la primera ecuación.