La prueba en el libro de Bartle

Question

Estoy estudiando análisis real por mi cuenta y me tropiezo con el siguiente teorema, que demuestra Bartle en su apéndice, sin embargo, no entiendo el caso 2. Concretamente no entiendo por qué define $h_1$ y se supone que la hipótesis de inducción no es que no haya inducción de $ N_m \rightarrow N_k$ Entonces, ¿cómo es que implica que $h_1$ no es una inyección. Puede alguien aclarar esta parte, o explicarla con detenimiento, para mí no es fácil de ver como dice el libro. Gracias

Answer 1

He aquí algunas ideas.

• $h_1$ está bien definida porque $h$ está bien definido y ningún elemento de $\mathbb N_{m-1}$ se envía a $k+1$ .

• $h_1$ no es una inyección porque $m > k + 1\implies \color{red} {m -1 > k}$ y por el paso de inducción $h_1 : \mathbb N _{m-1} \to \mathbb N_k$ no puede ser una inyección, fíjate que en este caso estamos asumiendo $h(p) = k+1 $ .

Finalmente, $h$ no es una inyección porque hemos visto que $h_1$ no lo es, y sabemos que $h(p) = k+1$ . Observe que $\mathbb N_{m-1} \cup \{p\} = \mathbb N_m$ y $\mathbb N_k \cup \{k+1\} = \mathbb N_{k+1}$ .

Answer 2

Bueno, la hipótesis de inducción es en realidad que no hay inyección de $\mathbb{N}_m$ en $\mathbb{N}_k$ .