Si $M$ está conectado a un colector, qué $M\setminus\{p\}$ tiene un número finito de componentes?

Question

Deje $M$ ser conectado a un colector y $p\in M$. Es cierto que $M\setminus\{p\}$ tiene sólo un número finito de componentes conectados?

(Podemos suponer $M$ es compacto si que ayuda.)

Creo que esto es cierto, pero yo no puedo probarlo todavía. Esto es lo que yo pensaba: $M$ tiene el mismo aspecto como algunos $\mathbb{R}^n$ a nivel local. Deje $U\subseteq M,V\subseteq\mathbb{R}^n$ ser homeomórficos abrir conjuntos con $p\in U$ $V$ algo de bola. Si $M\setminus\{p\}$ tiene una infinidad de componentes, tendría que implica que $V\setminus\{x\}$ ($x$ es la imagen de $p$) también debe tener un número infinito de componentes? Que demostraría que la $M\setminus \{p\}$ debe tener sólo un número finito de componentes.

¿Qué te parece?

Gracias.

Answer 1

Creo que su argumento es bastante bien. La parte crucial de ello es prueba de la implicación $M - \{p\}$ tiene infinitamente muchos de los componentes $\implies$ $V - \{x\}$ tiene una infinidad de componentes, y creo que deberían centrarse en asegurarse de que usted argumentar de manera convincente.

Nota sin embargo, que si $\dim M \geq 2$, $M - \{p\}$ está conectado siempre a $M$ es -- conectados a los colectores son las rutas conectadas, y usted puede hacer cualquier ruta de acceso omitir $p$ por la bajada a la Euclidiana barrio.