¿por qué es $\{x\} \in \{x\}$ falso?

Question

Me disculpo por esta simple pregunta. Así que si {x} es un subconjunto de {x, {x}}, entonces ¿por qué no {x} pertenecen a {x}?

Answer 1

Es un subconjunto. Pero no un elemento. $\{x\}\subseteq \{x\}$, pero $\{x\}\notin \{x\}$: si miramos en el conjunto que contiene sólo $x$, usted no puede encontrar un elemento $\{x\}$ (que es el conjunto que contiene a $x$, no $x$ sí).

Answer 2

$\{x\}$ es un subconjunto de a $\{x,\{x\}\}$, ya que cada elemento en $\{x\}$ (i.e $x$) está en $\{x,\{x\}\}$. $\{x\}$ no es un elemento de $\{x\}$ ya que el único elemento en el es $x$.

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Asumo $\{x\}\neq x$. Este tipo de conjunto es llamado Quine átomos, y en el estándar de la teoría de conjuntos (ZF), este tipo de configuración es prohibido por el axioma de fundación.

Answer 3

Una rigurosa prueba sólo puede lograrse mediante el Axioma de Regularidad:

$$ \forall (\ne\varnothing\Longrightarrow \existe z(z\in A\, \y \z\cap a=\varnothing). $$

En nuestro caso: Si $\{x\}\in\{x\}$, entonces eso significaría que $\{x\}=x$. Pero de acuerdo con el Axioma de Regularidad, como $A=\{x\}\ne\varnothing$, existe un $z\in A$, de tal manera que $z\cap A=\varnothing$. Pero, el único elemento de $A=\{x\}$$x$, y de ahí el Axioma establece que $$ A\cap x=\{x\}\cap x=\varnothing, $$ lo que implica que si $x=\{x\}$,$\varnothing=x\cap\{x\}=x\cap x=x$. Pero $\varnothing\ne\{\varnothing\}$ $\{\varnothing\}$ es un conjunto no vacío.

Answer 4

Dado el conjunto a $\{x\}$ se puede decir que el $x \in \{x\}$, ya que el $x$ es un elemento del conjunto a $\{x\}$.

Si usted tiene otro sistema, $\{\{x\}\}$, se puede decir que el $\{x\} \in \{\{x\}\}$. En este caso, el conjunto de $\{x\}$ es un elemento de otro conjunto $\{\{x\}\}$.

Es decir, cuando se incluye un objeto entre corchetes, usted está diciendo que el elemento pertenece a un conjunto. No importa lo que el objeto es, puede ser también un conjunto en sí mismo. El set contiene otros elementos, pero no a sí mismo. Entonces:

$$\{x\} \not\in \{x\}$$

Answer 5

Por la definición de singleton conjunto, $z \in \{ x \}$ si y sólo si $z = x$.

Por lo tanto, sustituyendo $z \to \{ x \}$, $\{ x \} \in \{ x \}$ si y sólo si $\{ x \} = x$.

Por lo tanto, si tuviéramos $\{ x \} \in \{ x \}$, por substiting $\{ x \} \to x$ dos veces, por lo tanto, se ha $x \in x$. Sería muy raro que un conjunto para ser un elemento de sí mismo, ¿no crees? Que sería como volver a casa un día y entrar en su casa, sólo para encontrar que su casa está en su sala de estar!

(por el axioma de fundación, uno no puede tener $x \in x$ cualquier $x$, por lo que podemos estar seguros de que la teoría de conjuntos ZFC no tiene este tipo de cosas raras)