Probar que si $(X,d)$ es un espacio métrico compacto, y $K$ es un conjunto infinito en $(X,d)$, entonces si $K$ no tiene ningún punto límite, $K$ es un conjunto cerrado.

Question

Probar que si $(X,d)$ es un espacio métrico compacto, y $K$ es un conjunto infinito en $(X,d)$, entonces si $K$ no tiene ningún punto límite, $K$ es un conjunto cerrado.

Idea : igual que la mayoría de la topología de las pruebas, de la manera que desee acercarse a este problema es mostrar que $X - K$ es abierto, sin embargo, yo no estoy seguro de cómo hacer esto. De hecho, tengo una idea que no implica abrir sets, que os muestro a continuación, pero sería bueno si pudiera mostrar $X - K$ está abierto. La ayuda será muy apreciada!

Supongamos $K$ no tiene límite de puntos. Si $K'$ es el conjunto de límite de puntos de $K$ $K' = \emptyset$. $K$ es cerrado si cada punto límite de $K$ es un punto de $K$. A continuación, $K$ es cerrado si $K' \subset K$. Desde $K' = \emptyset$, $K\ \subset K$ desde $\emptyset \subset K \forall K$. A continuación, $K$ es cerrado.

Answer 1

¿Qué podemos deducir de $K$ no tener ningún límite de puntos?

Bien, eso significa que si tomamos $x \in X - K$, entonces podemos encontrar algunos de $\epsilon > 0$ tal que $B(x, \epsilon) \cap K = \emptyset$ ($x$ sería un punto límite de $K$).

Pero $B(x, \epsilon) \cap K = \emptyset \implies B(x, \epsilon) \subseteq X - K$, y así para cada una de las $x \in X - K$, se encuentra abierta la bola alrededor de $x$ contenido totalmente en $X - K$, lo que muestra $X - K$ está abierto, y por lo tanto $K$ es cerrado.

Answer 2

Supongamos $x \notin K$. Supongamos $B(x,{1 \over n})$ intersecta $K$ todos los $n$, $x$ es un punto límite de $K$, lo cual es una contradicción. De ahí que para algunos $n_x$ tenemos $K \cap B(x, {1 \over n_x}) = \emptyset$. Por lo tanto $K^c$ está abierto.

Answer 3

Usted puede demostrar que todos los puntos de $X-K$ es un punto interior. Ya para $x \in X-K$, existe un conjunto abierto $O \ni x$, de tal manera que $O \cap K= \phi$, de lo contrario $x$ sería el punto límite para $K$. y, por tanto, arbitraria $x \in X-K$, nos hav $x \in O \subset X-K$. Por lo tanto $X-K$ está abierto.