¿Cómo puedo resolver este problema con la Regla Trapezoidal?

Question

El Problema

Una percha es de 100 pies de largo y 40 metros de ancho. Una sección transversal de la percha es la catenaria invertida $$y = 31 - 10(e^{\large \frac{x}{20}} + e^{\large \frac{-x}{20}} ).$$ Buscar el número de pies cuadrados de techos en la percha.

El Proceso De

Así que sé que tengo que hacer uso de la longitud de arco de la ecuación de $\displaystyle\;\int^b_a \sqrt{1+(\frac{df}{dx})^2}\, dx,\;$, pero ¿cómo encontrar la longitud de arco?

Estoy pensando en que puedo encontrar la longitud de arco, y luego encontrar el área bajo la curva con la regla Trapezoidal y, a continuación, simplemente se multiplica por la longitud.

Answer 1

Se han descrito precisamente una manera de hacer el problema. Calcular la derivada, y escriba la expresión para arclength, como una integral. Esto es fácil. La derivada es $\frac{1}{2}\left(e^{x/20}-e^{-x/20}\right)$. Plaza, agregar uno, tome la raíz cuadrada. Usted no necesita incluso simplificar. Usted termina para arriba con un tanto desordenado de la función, y se desea aproximar la integral. Eso es lo que la Regla Trapezoidal.

Nota: Si se le ha solicitado el uso de la Regla Trapezoidal, hay una pequeña broma en el problema. El desordenado cosa que tenemos que integrar en realidad no es tan complicado. De hecho, parece que va a ser muy muy bueno.

Cuando square y agregar $1$, obtendrá algo como $$1+\frac{1}{4}\left((e^{x/20})^2-2+(e^{-x/10})^2\right).$$ Traer a un denominador común, y simplificar. Tenemos $$\frac{1}{4}\left(e^{x/20}+e^{-x/20}\right)^2.$$ Ahora podemos tomar la raíz cuadrada, y conseguir algo que se integra bastante bien.

Así que realmente no necesita la Regla Trapezoidal! Sin embargo, para la mayoría de las funciones de $f(x)$, si se toma la derivada, cuadrado, agregar $1$, tomar la raíz cuadrada, se obtiene algo que no puede ser integrado en la escuela primaria términos. En ese tipo de caso, realmente, necesitamos un método numérico para aproximar la integral.

Answer 2

Para encontrar la longitud de arco, usted necesita evaluar

$$\int dx \: \sqrt{1+4 \sinh^2{\frac{x}{10}}}$$

Esto puede ser expresado en términos de una Integral Elíptica de los imaginarios argumento:

$$-10 i E\left(\left.\frac{i x}{10}\right|4\right)$$

$$E(\phi|m) = \int_0^{\phi} dt \sqrt{1-m \sin^2{t}}$$

Esto probablemente no va a ayudar mucho, por lo que probablemente se beneficiarán del uso de una integración numérica como regla trapezoidal. Aquí, definir los extremos de $x_0$$x_n$; la fórmula es

$$\frac{1}{2} [g(x_0)+g(x_n)] \Delta x + \sum_{k=1}^{n-1} g(x_i)\Delta x $$

$$g(x) = \sqrt{1+4 \sinh^2{\frac{x}{10}}}$$

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$