Heurística\iterada de la construcción de la Weierstrass diferenciable de la función.

Question

Estoy muy interesado en encontrar un camino o sugerencia para la construcción de la función de Weierstrass que en todas partes es continua pero no diferenciable - vamos a llamar a este (ECND). Mi más humilde ejemplo es la iteración.

$y_0 = |1-x|$

$y_n = \frac{1}{2^n}|1-2^n y_{n-1}| \text{ ; for } n > 0$

Las líneas verticales son valores absolutos.

La iteración produce un serrada de la función en $(0,2)$, lo que parece desaparecer. Sin embargo, ya que supongo que esta iteración se mantiene la constante de longitud, esto no puede ser un problema (que yo.e la función aún está allí, y en cada iteración da los aumentos de los alabes al doble de la anterior.). No estoy diciendo que es ECND, pero es una idea.

¿Tiene usted alguna información sobre cómo la función original fue producido? Lo que inspiró a la definición? Es la función coseno la única opción adecuada o hay otras funciones que pueden satisfacer las ECND condición?

Os dejo algunas iteraciones aquí:

OK. Esta es la prueba visual de que la longitud es constante. He invertido las funciones del revés. La iteración es

$y_0 = 1-|1-x|$

$y_n = \frac{1}{2^n}\left(1-|1-2^n y_{n-1}|\right) \text{ ; for } n > 0$

Answer 1

Como he mencionado anteriormente, sólo teniendo en cuenta su itera $y_i$ le llevará a la 0 la función es derivable. Lo que quiero hacer es considerar las sumas de las recorre en, $y_0+y_1$, $y_0+y_1+y_2$, etc...

Un poco de cuidado necesita ser tomado de modo que la suma infinita converge. Usted está bien, ya que la suma de las amplitudes de la iteración converge.

Con $y_0=1-|1-x|$. Y $y_n=2^{-n}(1-|1-2^ny_{n-1}|)$ (haga clic sobre la imagen, y luego en "ver imagen" para el tamaño completo de la imagen).