Variación de Pitágoras: Si $a^2 + b^2 = c^2$, $a + b \leq c\sqrt{2}$

Question

Esta es una palabra muy interesante problema que me encontré en un viejo libro de texto de la mina. Así que yo sé que tienen algo que ver con derivados del Teorema de Pitágoras utilizando el cálculo, trigonometría, geometría, o simple álgebra, lo que lleva a la más corta, la más simple de las pruebas, pero aparte de eso, el libro de texto no dio pistas realmente y realmente no estoy seguro acerca de cómo acercarse a él. Cualquier guía de sugerencias o ayuda sería verdaderamente apreciada. Gracias de antemano :) Así que de todos modos, aquí va el problema:

Demostrar que para $a, b, c > 0$,

si $a^2 + b^2 = c^2$, $a + b \leq c\sqrt{2}$

Answer 1

Prueba sin palabras:

(Este espacio se dejó intencionalmente en blanco.)

Answer 2

Suponiendo que usted está buscando para $a+b\le c\sqrt 2$, como una sugerencia, considere la posibilidad de $(a+b)^2+(a-b)^2$

Answer 3

Deje $x=(a,b)$$y=(1,1)$, entonces tenemos:

$a+b=x\centerdot y\leq||x||\space||y||=\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{2}=c\sqrt{2}$.

Answer 4

$(a+b)^2\\ \leq(a+b)^2+(a-b)^2\\ =a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\\ =2a^2+2b^2 =2(a^2+b^2) =2c^2$

El uso de la raíz cuadrada nos da:

$a+b\leq\sqrt{2}c$

Answer 5

Ha $c=\sqrt{a^2+b^2}$, por lo que su desigualdad es equivalente a $$\frac{a+b}2 \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}2}.$$ Esta es la conocida desigualdad entre cuadrática y la media aritmética.

En este caso sólo necesitamos dos variables, pero es verdad para obtener más variables.

Si $x_1,\dots,x_n\ge0$ son números reales entonces $$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}n \le \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}n}.$$ La igualdad ocurre si, y sólo si $x_1=x_2=\dots=x_n$.

Algunos enlaces:

• Demostrar QM-SOY la desigualdad
• La raíz Cuadrada Media-Media Aritmético-Geométrica Media Armónica la media de la Desigualdad en AoPS
• Desigualdades: Una Olimpiada Matemática Enfoque Por Radmila Bulajich Manfrino et al., p.36