La forma cerrada de $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k} h^{(n-k)}(0)f^{(k-1)}(0)$

Question

Hay una forma cerrada para:

$$\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k} h^{(n-k)}(0)f^{(k-1)}(0)$$

donde: $$h(x)=(1-x)^{\alpha}(A-Bx)^{\frac{1}{\gamma}-\alpha}$$ and $$f(x)=-x(1-x)^{-1-\alpha}(A-Bx)^{-(\frac{1}{\gamma}-\alpha)-1}$$ where $h^{(n-k)}(0)$ is the $(n-k)$th derivative of $h(x)$ at $x=0$.

Me encontré con esta tratando de encontrar la generación de la función de distribución. Primero me solucionó un primer orden de la ecuación diferencial por el factor de integración. Como resultado he obtenido:

$$y(x)=(1-x)^{\alpha}(A-Bx)^{\frac{1}{\gamma}-\alpha} \int -x(1-x)^{-1-\alpha}(A-Bx)^{-(\frac{1}{\gamma}-\alpha)-1}dx$$ Lo siguiente que necesita para encontrar la serie de Taylor de $y(x)=\sum \frac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n$. Esto requiere la evaluación de la suma en esta pregunta.

Parece ser que hay una relación entre el $h$ $f$ que me hace pensar(la esperanza) no debe ser una buena solución de forma cerrada para él.

Les agradecería mucho cualquier sugerencia!

Answer 1

Derivado de la $h(x)$ parece algo como

$$h^{(n)}(0)=(-1)^n(\alpha)_n A^{\frac{1}{\gamma}-\alpha}+(-B)^n\left({\frac{1}{\gamma}-\alpha}\right)_n A^{\frac{1}{\gamma}-\alpha-n}$$

Y para $f(x)$ hemos

$$f^{(n)}(0)=(-1)^n A^{-(\frac{1}{\gamma}-\alpha)-1}$$

Por lo que la suma será

$$\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\left((-1)^{n-k}(\alpha)_{n-k}^{\frac{1}{\gamma}-\alpha}+(-B)^{n-k}\left({\frac{1}{\gamma}-\alpha}\right)_{n-k} A^{\frac{1}{\gamma}-\alpha-n+k}\right)\left((-1)^{k-1}^{- (\frac{1}{\gamma}-\alpha)-1}\right)\\ =\frac{(-1)^{n-1}}{A}\left(\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}(\alpha)_{n-k}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\left({\frac{1}{\gamma}-\alpha}\right)_{n-k}\left(\frac{B}{A}\right)^{n-k}\right)$$

Existe un Sheffer secuencia que relaciona el coeficiente binomial con un par complementaria de la caída de los factorial, pero sólo por una caída factorial no me encontraron nada. Si se puede se relaciona binomial y una caída factorial en una forma cerrada, entonces tal vez una forma cerrada para la expresión.

Tal vez tratando de algunos finito de diferenciación.

ACTUALIZACIÓN: bueno, wolfram-alpha dice que existe una relación , pero no estoy seguro de si esta es una forma más "cerrado" o no.

Y para el segundo sumando existe otra relación.