Cómo probar esto mediante la combinatoria?

Question

¿Cómo proceder en caso de que usted está obligado a demostrar que para cualquier número natural $n$ que $$\frac{n^2!}{(n!)^n}$$ es un número entero. Aquí el ! signo representa factorial. Tengo absolutamente ninguna pista en este problema. Cualquier sugerencia o ayuda se agradece.

Answer 1

De cuántas maneras existen para el fin de una "palabra" hecho con $n$ letras, cada una de las cuales ocurren $n$ veces?

Answer 2

Vamos a mostrar que el número de arriba es el tamaño de un conjunto con un número entero de elementos.

Supongamos que tenemos $n$ tipos de pelotas, y de cada tipo tenemos $n$ bolas. Obviamente, hay $n^2$ bolas. Vamos a ponerlos en una línea; obviamente, no es un número entero número de maneras de hacerlo.

Primero debemos poner a todos en una línea como son diferentes - permutación $n^2$ diferentes elementos se define como $n^2!$, ahora se dividen por el número de sustituciones para cada tipo - $n!$ para cada tipo tenemos justo lo que quería: $$\frac{n^2!}{(n!)^n} $$

Answer 3

El producto de $n$ enteros consecutivos es divisible por $n!$: $$ (m+1)(m+2)\cdots(m+n)=\binom{m+n}{n}n! $$

$n^2!$ es un producto de $n$ productos de $n$ enteros consecutivos: $$ [1 \cdot 2 \cdots n]\dot[(n+1)(n+2)\cdots(n+n)]]\cdots $$

Explicily, $$ n^2! = \binom{n}{n}\binom{2n}{n}\cdots \binom{n^2}{n}(n!)^n $$

Answer 4

un principio útil es que para cualquier números naturales $m,n$ tenemos: $$ F_{n,0} | F_{n,m} $$ donde $$ F(n,m) = \prod_{j=1+m}^{n+m} j $$ con esta notación tenemos $F(n,0) = n!$ y $$ (kn)! = \prod_{j=0}^{k-1} F(n,kn) $$ establecimiento $k=n$ da el resultado deseado