Demostrar $$\quad \lim_{x\to4}\sqrt{x}=2 $$
utilizando la definición precisa de los límites. (Épsilon-Delta)
Creo que resultó ser este problema, pero cuando me miro en el libro de texto para comparar las pruebas
son muy diferentes y no entiendo cómo el libro trabajado todo.
Así que lo que voy a publicar la mía para que usted compruebe si es correcta y la de
el libro de texto para hacer algunas preguntas. $\\[10pt]$
Mi trabajo áspero:$\;$ Pick $\epsilon > 0$, entonces no existe $\delta>0$ tal que
$\quad 0 < |x - 4| < \delta \quad \Rightarrow \quad |\sqrt{x} - 2| < \epsilon$
Establecer una conexión entre el $|x - 4|$ $|\sqrt{x} - 2|$
$|\sqrt{x} - 2| \cdot \frac{|\sqrt{x} + 2|}{|\sqrt{x} + 2|} = \frac{|x - 4|}{\sqrt{x} + 2}$, $\;$ Pick $\delta = 4$
$|x-4| < 4 \ \Rightarrow\ 0 < \sqrt{x} < \sqrt{8} \ \Rightarrow\ 2 < \sqrt{x} + 2 < \sqrt{8} + 2 \ \Rightarrow\ \frac{1}{\sqrt{8} + 2} < \frac{1}{\sqrt{x} + 2} < \frac{1}{2}$
Esto implica $\frac{|x - 4|}{\sqrt{x} + 2} < \frac{1}{2} \cdot |x-4| < \epsilon \ \Rightarrow\ |x-4|< 2 \cdot \epsilon$ $\\[20pt]$
Mi prueba: $\;\delta = min\{4,2\epsilon\}$ y asumir que $\ 0 < |x - 4| < \delta \ \Rightarrow \ |\sqrt{x} - 2| < \epsilon$
$\frac{|x - 4|}{\sqrt{x} + 2} < \frac{1}{2} \cdot |x-4| < \frac{1}{2} \cdot 2\epsilon < \epsilon \quad QED\quad $ Corrct? $\\[20pt]$
Del libro: $\;$A ser capaz de formar a $\sqrt{x}$, tenemos que tener $x \ge 0$.
Para asegurar esto, debemos tener $\delta \le 4$. Con $x \ge 0$, podemos formar $\sqrt{x}$ y escribir
$|x - 4| = |\sqrt{x}+2||\sqrt{x}-2|$.
Desde $|\sqrt{x} + 2| \ge 2 > 1$, se deduce que el $\quad \leftarrow\;$ Esto es lo que no entiendo.
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ donde hizo "$\ge 2 > 1$"?
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ el libro no explica
$|\sqrt{x}-2| \le |x - 4| \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \, \leftarrow$ ¿Cómo puedo obtener esta información de la desigualdad anterior?
Esta última desigualdad sugiere que simplemente podemos establecer $\delta \le \epsilon \quad \leftarrow$ I got $2\epsilon$, ¿cómo es que sólo ha $\epsilon$?
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
