Acerca de Gödel del Teorema de la Incompletitud

Question

Hace un tiempo, he estado pensando acerca de lo que las declaraciones en la Teoría de números son verdaderas, pero no demostrable. He visto la prueba del Teorema de la Incompletitud (en el Gödel obras) y él dio un ejemplo de una declaración que es cierto, pero no es demostrable, pero esa afirmación es demasiado extraño (tal vez porque la prueba era constructivo, y Gödel construido esta declaración, creo).Mi Lógica profesor dijo que, en el pasado, los matemáticos creen que Fermat conjeture fue otra de esas declaraciones, pero, más tarde, Andrew Wiles dio una demostración de la conjeture. Por lo tanto, tengo dos grandes preguntas.

1. Podría Goldbach del conjeture ser cierto, pero no es demostrable?
2. ¿Cuáles declaraciones en la Teoría de números son verdaderas, pero no es demostrable?

Muchas gracias por todas tus ideas!

Answer 1

En primer lugar, por 'true' (y me gustaría que la gente deje de usar esa palabra en conexión con Godels teorema) nos referimos a la validez en la interpretación estándar. Tales declaraciones son por lo general se muestran con la ayuda de la teoría de conjuntos.

Segundo, Fermats última aún no ha sido demostrado ser una consecuencia de los axiomas de Peano. Puede Wiles prueba de ser formalizado en el PA ?

Para responder a sus preguntas,

1. Sí, en el momento de escribir esto podría ser, pero no sabemos.

2. Hay un número natural y elegante teoremas conocidos por no ser demostrable en PA, París-Harrington, Goodstein, y Hércules y la Hidra.