Rizo de un campo vectorial.

Question

Sea S una superficie orientada a trozos suave en $\mathbb{R}^3$ con una curva de contorno orientada positivamente y suave a trozos $\Gamma:=\partial S$ y $\Gamma : X=\gamma(t), t\in [a,b]$ una parametrización rectificable de $\Gamma$ . Imagina $\Gamma$ es un cable por el que circula una corriente I. Entonces

$$m:=\frac{I}{2}\int_a^b\gamma(t)\times \dot{\gamma}(t)dt$$

es el momento magnético de la corriente.

Demuestre que para un $u\in \mathbb{R}^3$

$$m\cdot u=I\int_Su\cdot d\Sigma$$ es cierto.

He intentado hacer esto con Stokes pero no consigo llegar a la ecuación deseada. El profesor nos dio una pista: $k_u(x):=\frac{1}{2}u\times x$ es un campo vectorial y $\operatorname{curl}k_u = u$ .

¿Algún consejo o sugerencia? Se lo agradecería.

Answer 1

$$\vec m=\frac{I}{2}\int_a^b \vec \gamma \times \frac{d\vec \gamma}{dt}dt$$

Entonces,

$$\begin{align} \vec u \cdot \vec m&=\frac{I}{2}\vec u \cdot \left(\int_a^b \vec \gamma \times \frac{d\vec \gamma}{dt}dt\right)\\\\ &=\frac{I}{2}\int_a^b \vec u \cdot \left(\vec \gamma \times \frac{d\vec \gamma}{dt}\right)dt\\\\ &=\frac{I}{2}\int_a^b \vec (\vec u \times \gamma) \cdot \frac{d\vec \gamma}{dt}dt\\\\ &=\frac{I}{2}\int_S \nabla \times (\vec u \times \gamma) \cdot d\vec \Sigma\\\\ &=\frac{I}{2}\int_S 2 \vec u \cdot d\vec \Sigma\\\\ &=I\int_S \vec u \cdot d\vec \Sigma \end{align}$$

Answer 2

Tal $m$ es el momento magnético del bucle de corriente. La fórmula que se quiere demostrar es una consecuencia del teorema de Stokes:

$$ \int_S u \cdot d\Sigma =\int_{S}\nabla \times k_u (x) \cdot d\Sigma = \int_{\partial S} k_u(\gamma)\times d\gamma = \int_{\Gamma}\frac{1}{2} (u \times \gamma)\cdot d\gamma $$ Recordemos la propiedad cíclica del triple producto escalar, usándola podemos reescribir la última integral como

$$ \frac{1}{2} \int_{\Gamma}\gamma \times d\gamma \cdot u = \frac{1}{2}\int_{a}^{b} \gamma(t) \times \dot{\gamma} (t) ~dt \cdot u $$