Convergen de una secuencia en $L^p(\mathbb{R}^3)$

Question

Deje $f(x)\in L^p(\mathbb{R}^3)$ por cada $p\in [1, \infty]$. Deje $B(n)\subset \mathbb{R}^3$ ser la bola de radio $n$ centrada en el origen. Quiero mostrar que la secuencia $$I_n(x)=\int_{\mathbb{R}^3}e^{-\xi^2/n}\int_{B(n)}f(y)e^{i(x-y)\xi}dyd\xi$$ converge en $L^p(\mathbb{R}^3)$ por cada $p\in [1, \infty)$.

Sé que $L^p$ está completo, así que he tratado de mostrar que el $I_n(x)$ es una secuencia de Cauchy. He escrito $$I_n(x)=\int\int \chi_{B(n)}(y)f(y)e^{i(x-y)\xi}e^{-\xi^2/n}dyd\xi$$ y trató de utilizar algunas de las desigualdades para estimar el $I_n-I_m$, pero nada obtuvo. Alguna sugerencia?

Answer 1

El $\xi$integral puede ser calculada como $$ \int e^{i(x-y)\xi}e^{-|\xi|^2/n}\mathrm{d}\xi = e^{-n|x-y|^2}\int e^{-(\xi/\sqrt{n}-i\sqrt{n}(x-y))^2}\mathrm{d}\xi = (\pi n)^{3/2} e^{-n|x-y|^2} , $$ y por lo tanto $$ I_n(x)=\int\chi_{B(n)}(y)f(y)(\pi n)^{3/2} e^{-n|x-y|^2}\mathrm{d}y = \int f_n(y)g_n(x-y)\mathrm{d}y , $$ donde $$ f_n(y) = \chi_{B(n)}(y)f(y) , $$ y $$ g_n(x) = (\pi n)^{3/2} e^{-n|x|^2}. $$ Es obvio que el operador $T_n:f\mapsto f_n$ está delimitado de manera uniforme en $n$ operador $L^p\to L^p$, para cada una de las $1\leq p\leq\infty$, y, además, que $f_n\to f$$L^p$, para cada una de las $1\leq p<\infty$.

Por otro lado, tenemos $$ \int g_n(x)\,\mathrm{d}x = \pi^3 , $$ $g_n>0$, e $g_n\to0$ uniformemente en $\{|x|>\delta\}$ para cada uno de ellos fijo $\delta>0$. Así, por medio de la teoría general de la aproximación de la identidad, podemos inferir que el operador $G_n:f\mapsto f*g_n$ está delimitado de manera uniforme en $n$ operador $L^p\to L^p$, para cada una de las $1\leq p\leq\infty$, y, además, que $f*g_n\to \pi^3f$$L^p$, para cada una de las $1\leq p<\infty$.

Finalmente, mediante la combinación de los resultados acerca de la $T_n$$G_n$, llegamos a la conclusión de que $f_n*g_n\to \pi^3f$$L^p$, para cada una de las $1\leq p<\infty$.