En $\mathbb{R}^d$, vamos a $f(x)=|x|^{-t}$, su transformada de Fourier de transformar $F(f)(ξ):=(2\pi)^{-\frac{d}{2}}∫_{\mathbb{R}^d} e^{ix\cdot ξ}f(x)dx$, hay alguna forma rápida de ver que esta integral converge en $ξ \neq0$ todos los $t\in (0,d)$?
Respuesta
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Marius
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Gracias por la respuesta. Tal vez he cometido un error estúpido, pero aquí es lo que me sale: $\int_{\mathbb{R}^d}\frac{e^{ix\cdot \xi}}{|x|^t}dx=\int_{\mathbb{R}^d}\frac{\cos(x\cdot \xi)}{|x|^t}dx=\frac{1}{|\xi|^{d-t}}\int_{\mathbb{R}^d}\frac{\cos(y_1)}{|y|^t}dy$, después de que el cambio de variable $\frac{y}{|\xi|} \to x$ y una rotación en el sistema de coordenadas. Luego me cambie a la forma esférica, $y_1=r\cos\theta$, $y_2=r\sin\theta \cos\beta_1, \cdots$, terminar con esta integral: $\int_0^{\pi}d\theta \int_0^{\pi} d\beta_1 \cdots \int_0^{\pi}d\beta_{d-3}\int_0^{2\pi}d\beta_{d-2}\int_0^{\infty}\frac{\cos(r\cos\theta)}{r^t}r^{d-1}\sin^{d-2}\theta\sin^{d-3}\beta_1\cdots \sin\beta_{d-3}dr.$ Deje $C(d)= \int_0^{\pi} d\beta_1 \cdots \int_0^{\pi}d\beta_{d-3}\int_0^{2\pi}d\beta_{d-2}\sin^{d-3}\beta_1\sin^{d-3}\beta_2 \cdots \sin\beta_{d-3}$ ser la constante obtenida por integración en el $\beta_i$ ángulos. A continuación, el singular parte es $\int_0^{\pi}\int_0^{\infty}\frac{\cos(r\cos\theta)}{r^t}r^{d-1}\sin^{d-2}\theta drd\theta$ . Me cambio de variable en las $r\cos\theta \to z$, a terminar con esta $(\int_0^{\pi}\sin^{d-2}\theta \cos^{d-1-t}\theta d\theta)(\int_0^{\infty}\frac{\cos z}{z^{t+1-d}}dz)$, el primero "()" está bien desde $d-1-t>-1$ todos los $t\in (0,d)$, me parece que la segunda "()"es finito sólo al $t\in (d-1, d)$(determinado $t$ es positivo), la falta de la $(0,d-1]$ part.
