El Diamante Principio implica el Club Principio.

Question

Así que el Diamante y el Club de los principios tanto de la combinatoria de los principios en la teoría de conjuntos. Ellos se definen como sigue (hay más delgado definiciones, pero me quedo con esta es $\omega_1$, como estoy seguro de que las ideas de responder a esta pregunta será suficiente para hacer frente a otras definiciones).

El Diamante principio afirma que existe una secuencia de conjuntos de $\langle A_\alpha\subseteq \alpha : \alpha< \omega_1\rangle$ tal que para cualquier $X\subseteq \omega_1$ el conjunto $\{\alpha<\omega_1 : X\cap\alpha=A_\alpha\}$ es estacionaria en $\omega_1$.

El Club de principio se indica que no existe $\langle A_\alpha\subseteq \alpha : \alpha< \omega_1\rangle$ tal que para cada una de las $\alpha$ $A_\alpha$ es ilimitado en la $\alpha$, y dada la multitud innumerable $X\subseteq \omega_1$ tenemos que $\{\alpha\in\lim(\omega_1) : A_\alpha\subseteq X\}$ es estacionaria en $\omega_1$ (esta última condición de ser estacionaria puede ser simplificado a estar vacío).

Así que al parecer el club principio sigue claramente desde el diamante principio, utilizando el diamante de la secuencia y la sustitución de los conjuntos de $A_\alpha$ tal que $\sup(A_\alpha)<\alpha$ por algo. Todo lo que veo es que si aumenta este establece para cumplir con las condiciones que podrían perder su aproximación a la propiedad. No puedo encontrar una solución en cualquier lugar en línea o en libros, como todo lo que veo es las declaraciones que esto está claro.

Answer 1

Deje $\langle A_\alpha:\alpha<\omega_1\rangle$ testimonio $\Diamond$. Deje $\langle\eta_\xi:\xi<\omega_1\rangle$ será cada vez más una enumeración de el límite de los números ordinales en $\omega_1$. Deje $S=\{\xi<\omega_1:\sup A_{\eta_\xi}=\eta_\xi\}$. Para $\xi<\omega_1$ vamos

$$A_{\eta_\xi}'=\begin{cases} A_{\eta_\xi},&\text{if }\xi\in S\\ \eta_\xi,&\text{otherwise}\;. \end{casos}$$

Ahora supongamos que $X\subseteq\omega_1$ es incontable. Deje $C$ el conjunto de límite de puntos de $X$ en $\omega_1$; $C$ es un conjunto de club, así que por $\Diamond$ hay un $\alpha\in C$ tal que $A_\alpha=X\cap\alpha$. Pero $\alpha=\eta_\xi$ algunos $\xi<\omega_1$, e $\sup A_\alpha=\alpha$ (desde $\alpha\in C$), por lo $A_{\eta_\xi}'=A_{\eta_\xi}=A_\alpha\subseteq X$. Por lo tanto, $\{\xi<\omega_1:A_{\eta_\xi}'\subseteq X\}\ne\varnothing$, e $\langle A_{\eta_\xi}':\xi<\omega_1\rangle$ testigos $\clubsuit$.