Neocercanía positivamente invariante mediante la función de Lyapunov

Question

Dado el siguiente sistema de EDO no lineal,

$$x_1'=-x_1-x_2$$ $$x_2'=2x_1-x_2^3$$

Necesito usar la función cuadrática de Lyapunov

$$V(x) = x^TQx$$

où $Q$ es una matriz definida positiva tal que

$$A^TQ+QA=-I$$

y donde $A=Df(0,0)$ para encontrar un barrio $U$ alrededor del origen, lo más grande posible, tal que $U$ es positivamente invariante y todas las soluciones que empiezan en $U$ tienden al origen como $t\to\infty$ .

He examinado detenidamente los apuntes del curso y el libro de Perko ( Sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales ), pero no pude encontrar una pista de cómo hacer este problema.

Agradecería mucho que alguien me lo explicara:

1. ¿Cómo se encuentra este barrio?

2. ¿Cómo se $V$ relacionado con todo esto?

Answer 1

Escriba a $$\dot{x}=Ax+g(x)=\left[\matrix{-1 & -1\\ 2 & 0}\right]x+\left[\matrix{0\\-x_2^3}\right]$$ La solución simétrica definida positiva de $$QA+A^TQ=-I$$ es (por cálculo directo) $$Q=\frac{1}{2}\left[\matrix{3 & 1\\ 1 & 2}\right]$$ Ahora para la función de Lyapunov candidata $V=x^TQx$ tenemos $$\dot{V}=\dot{x}^TQx+x^TQ\dot{x}=(Ax+g(x))^TQx+x^TQ(Ax+g(x))\\ =x^T(QA+A^TQ)x+2x^TQg(x)\\ =-\|x\|^2+2x^TQg(x)\\ \leq -\|x\|^2+2\lambda_{\max}(Q)\|x\|\|g(x)\|$$ Tenga en cuenta que $\|g(x)\|=|x_2|^3\leq \|x\|^3$ y por lo tanto $$\dot{V}\leq -\|x\|^2+2\lambda_{\max}(Q)\|x\|^4\\ \leq -\|x\|^2+2\frac{\lambda_{\max}(Q)}{\lambda_{\min}(Q)}V\|x\|^2\\ \leq -\|x\|^2\left(1-2\frac{\lambda_{\max}(Q)}{\lambda_{\min}(Q)}V\right)$$ Así $\dot{V}< 0$ para todos $$V< \frac{\lambda_{\min}(Q)}{2\lambda_{\max}(Q)}$$ con $V\neq 0$ y por lo tanto todas las trayectorias que comienzan dentro de la vecindad $$U:=\left\{x: V(x)< \frac{\lambda_{\min}(Q)}{2\lambda_{\max}(Q)}\right\}$$ permanecer en $U$ para todo el tiempo posterior y tienden al origen como $t\rightarrow\infty$ .