Evaluar el límite.

Question

Deje $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ser diferenciable en a $x = a$. Evaluar:

$$ \lim_{n\to \infty}\large[{f(a +\frac{1}{n^2})}+{f(a +\frac{2}{n^2})}+...+{f(a +\frac{n}{n^2})}-nf(a)] $$ Respuesta: $\ $ $\ \frac{1}{2}f'(a)$

Mi intento: $$ \lim_{n\to \infty}\large[{f(a +\frac{1}{n^2})}-f(a)+{f(a +\frac{2}{n^2})}-f(a)+...+{f(a +\frac{n}{n^2})}- f(a)] $$ No sé cómo continuar a partir de aquí? Por favor, me acaba de dar la pista. Quiero resolver esta pregunta por mi auto. Gracias.

Answer 1

$[f(a+\frac{1}{n^2})-f(a)]+[f(a+\frac{2}{n^2})-f(a)]+\ldots +[f(a+\frac{n}{n^2})-f(a)]$

$=\dfrac{[f(a+\frac{1}{n^2})-f(a)]}{\frac{1}{n^2}}\times {\frac{1}{n^2}}+\dfrac{[f(a+\frac{2}{n^2})-f(a)]}{\frac{2}{n^2}}\times {\frac{2}{n^2}}+\ldots +\dfrac{[f(a+\frac{n}{n^2})-f(a)]}{\frac{1}{n^2}}\times {\frac{n}{n^2}}$

$=\sum _{i=1}^n [f(a+\frac{k}{n^2})-f(a)]{\frac{k}{n^2}}$

Tenga en cuenta que $\lim_{n\to \infty }\dfrac{[f(a+\frac{k}{n^2})-f(a)]}{\frac{k}{n^2}}=f^{'}(a)\to (1)$

AÑADIDO:Siguiendo $(1)$; $\epsilon>0;\exists m $ tal que $n\ge m\implies|\dfrac{[f(a+\frac{k}{n^2})-f(a)]}{{\frac{k}{n^2}}}-f^{'}(a)|<\epsilon\implies $

$(f^{'}(a)-\epsilon)\dfrac{k}{n^2}\le [f(a+\frac{k}{n^2})-f(a)]\le(f^{'}(a)-\epsilon)\dfrac{k}{n^2}\forall k$

Suma más de $k$ todos los $k=1,2,\ldots n$ tenemos $(f^{'}(a)-\epsilon)\dfrac{n(n+1)}{2n^2}\le \sum_{k=1}^n[f(a+\frac{k}{n^2})-f(a)]\le(f^{'}(a)-\epsilon)\dfrac{n(n+1)}{2n^2}$

Por lo tanto la expresión anterior se reduce a $f^{'}(a)[\dfrac{n(n+1)}{2n^2}]\to \dfrac{1}{2}f^{'}(a)$ $n\to \infty$

@kccu ;Mira el AGREGADO para aclarar tus dudas

Answer 2

A partir del Teorema de Taylor con la Peano resto,

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{f(a+k/n^2)-f(a)=f'(a)\frac k{n^2}+h(k/n^2)\frac k{n^2}} \tag 1$$

donde $\displaystyle \lim_{k/n^2\to 0}h(k/n^2)=0$.

---

El uso de $(1)$, podemos escribir

$$\begin{align} \sum_{k=1}^n f(a+k/n^2)-nf(a)&=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^n kf'(a)+\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nkh(k/n^2)\\\\ &=\frac{n(n+1)}{2n^2}f'(a)+\frac1{n^2}\sum_{k=1}^n kh(k/n^2) \tag 2 \end{align}$$

Es fácil ver que el límite del primer término en el lado derecho de la $(2)$$\frac12f'(a)$.

---

Siguiente, tenga en cuenta que para todas las $\epsilon>0$ existe un número $\delta(\epsilon)>0$ tal que para $k/n^2<\delta(\epsilon)$, $|h(k/n^2)|\le \epsilon$. Por lo tanto, dado $\epsilon>0$,

$$\left|\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n kh(k/n^2)\right|<\epsilon \frac{n(n+1)}{2n^2}\le \epsilon$$

siempre que $k/n^2\le 1/n<\delta$.

---

Por lo tanto, tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^n f(a+k/n^2)-nf(a)=\frac12 f'(a)}$$

Y hemos terminado!