¿Por qué la función de Dirichlet no tiene una derivada en X=0

Question

$\newcommand{\dirichlet}{\mathop{\rm dirichlet}\nolimits}$ Estoy tratando de encontrar dos ejemplos para los siguientes criterios:

1. Un método que es continuo exactamente en un punto pero no lo hace tienen una derivada en ese punto
2. Un método que es continuo exactamente en un punto y que tiene una derivada en ese punto

Después de profundizar en algunos ejemplos, descubrí que $f(x) = x\cdot\dirichlet(x)$ no tiene un derivado en $x = 0$ Sin embargo, $f(x) = x^2\cdot \dirichlet(x)$ tiene.

No puedo entender la diferencia entre ambos. Cualquier ayuda podría servir.

Answer 1

Primero, $\Delta(x)$ no es continua en ninguna parte, por ejemplo $\lim_{x\to y}\Delta(x)$ no existe para ningún $y$ . La definición de la derivada viene dada por un límite, por lo que si se busca la derivada de $x^p\Delta(x)$ para $p\geq 1$ a cero, por la definición que tiene $$ \lim_{x\to 0}\frac{x^p\Delta(x) - 0^p\Delta(0)}{x-0} = \lim_{x\to0}x^{p-1}\Delta(x) $$ y la cuestión ahora es, cuando este último límite existe. Como ya hemos comentado, no existe para $p-1=0$ es decir $p=1$ por lo que $x\Delta(x)$ no tiene una derivada en cero. Sin embargo, como $$ \lim_{x\to 0}x^{p-1} = 0 $$ para $p>1$ y $\Delta(x)$ está acotado, el límite $\lim_{x\to0}x^{p-1}\Delta(x)$ existe y es igual a cero para todo $p>1$ .