Mostrar que $y = \frac{2x}{x^2 +1}$ se encuentra entre $-1$ $1$ incluido.

Question

Demostrar, utilizando un método algebraico,que $y=\frac{2x}{x^2 +1}$ se encuentra entre $-1$ $1$ incluido. Por lo tanto, determinar el mínimo y el máximo de puntos $y=\frac{2x}{x^2 +1}$ .

Lo que he intentado:

En primer lugar, pensé en el uso de fracciones parciales, pero desde $x^2 +1 =(x-i)(x+i)$, creo que no es posible mostrar el uso de fracciones parciales.

En segundo lugar, se decidió utilizar la diferenciación

$y=\frac{2x}{x^2 +1}$

$\frac {dy}{dx} = \frac {-2(x+1)(x-1)}{(x^2 +1)^2 }$

Para los puntos estacionarios:

$\frac {dy}{dx} = 0$

$\frac {-2(x+1)(x-1)}{(x^2 +1)^2 } = 0$

$x=-1$ o $x=1$

Al $x=-1,y=-1$

Al $x=1,y=1$

Por lo tanto, esto implica que $y=\frac{2x}{x^2 +1}$ se encuentra entre $-1$ $1$ incluido.

^Me pregunto si este es el método correcto o no me dejo algo?

La tercera forma en que estaba utilizando el discriminante

Suponga que $y=\frac{2x}{x^2 +1}$ cruza con $y=-1$ $y=1$

Para $\frac{2x}{x^2 +1} = 1$,

$x^2 -2x+1 = 0$

Discriminante = $ (-2)^2 -4(1)(1) = 0 $

Para $\frac{2x}{x^2 +1} = -1$,

$x^2 +2x+1 = 0$

Discriminante = $ (2)^2 -4(1)(1) = 0 $

Así, desde la $y=\frac{2x}{x^2 +1}$ toques $y=-1$ y $y=1$, $y=\frac{2x}{x^2 +1}$ se encuentra entre el $-1$ $1$ incluido.

Es los métodos que se enumeran correcta?Hay otras maneras para hacerlo?

Answer 1

Tenemos que demostrar que el$$\left|\frac{2x}{x^2+1}\right|\leq1$$ o $$x^2-2|x|+1\geq0$$ o $$\left(|x|-1\right)^2\geq0.$$ La igualdad se produce por $|x|=1$, lo que da:

$(1,1)$ es un punto máximo y $(-1-1)$ es un punto mínimo.

Hecho!

Answer 2

Para qué valores de a $a$ ¿la ecuación $$ \frac{2x}{1+x^2}=a $$ admitir una solución?

La ecuación puede ser reescrita $$ ax^2-2x+a=0 $$ y su discriminante es $$ 4(1-a^2) $$ que es $\ge0$ si y sólo si $-1\le a\le 1$. Para $a=0$ no es un grado $2$ ecuación, pero, por supuesto,$f(0)=0$, por lo que también se $a=0$ es un valor alcanzado por la función.

Answer 3

SUGERENCIA:

Si el cálculo no es obligatorio,

Método de$\#1:$

Set $x=\tan A$

Método de$\#2:$

$$\implies x^2y-2x+y=0$$

Como $x$ es real, el discriminante debe ser $\ge0$

Método de$\#3:$

Si $x>0,$ $$\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac2{x+\dfrac1x}$$

Ahora el uso de AM-GM de la desigualdad, $$\dfrac{x+\dfrac1x}2\ge\sqrt{x\cdot\dfrac1x}=?$$

Si $x<0,$ $x=-u$

Answer 4

me gustaría escribir $$-1\le \frac{2x}{x^2+1}\le 1$$ esto es equivalente a $$-x^2-1\le 2x$$ or $$(x+1)^2\geq 0$$ and $$2x\le x^2+1$$ this is equivalent to $$(x-1)^2\geq 0$$

Answer 5

el uso de AM-GM:

Si $x>0$ $$\frac{2x}{1+x^2}\le\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{2x}=1$$

Del mismo modo $x<0$

$$\frac{2x}{1+x^2}\ge\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{2|x|}=-1$$