Me preguntaba si existe una (computable) secuencia de números, por lo que puede ser demostrado que no hay forma cerrada puede existir.
Edit: Por la forma cerrada, me refiero a una expresión que sólo un número constante de funciones elementales. Algo así como una suma no puede ocurrir en la expresión.
Inevitablemente, la respuesta dependerá de lo que significa la forma cerrada. Consideramos computable secuencias de enteros no negativos, es decir, funciones computables $f(x)$ a partir de los enteros no negativos a los enteros no negativos. Vamos a permitir que el menor número de operador $\mu$, así como las operaciones de la aritmética ordinaria.
El menor número de operador puede no estar familiarizado, así que nos definen. Deje $R(y,x_1,\dots,x_n)$ ser una relación tal que para todos los $x_1,\dots,x_n$ no es un porcentaje ($y$tal que $R(y, x_1,\dots,x_n)$ mantiene. A continuación, $\mu y R(y,x_1,\dots,x_n)$ es el menos tal $y$.
Como consecuencia de Matijasevic la solución de Hilbert del Décimo Problema, no es un fijo polinomio $P(e, x, u_1,\cdots, u_k)$ con la siguiente propiedad.
Para cualquier función computable $f$, no es un entero no negativo, $e=e(f)$ tal que para cualquier $x$, $$f(x)=[\mu y( P(e, x, [y]_1,[y]_2, \dots, [y]_k)=0)]_0.$$ Aquí por $[w]_i$ lo que significa que el exponente de la $i$-th prime $p_i$ en el primer poder de la descomposición de $w$. (El $0$-ésimo primo es $2$.)
Esto le da a lo que yo consideraría una respuesta positiva a la forma cerrada de la pregunta: Cada computable de la secuencia tiene una forma cerrada. Muchos de los teoremas de la misma clase general eran conocidos mucho antes de que el trabajo de Matijasevic, excepto que en lugar de un polinomio $P$, uno de los más complicados de la función.
Si el $\mu$-operador no está permitido, hay muy pocas soluciones.
El más famoso e interesante es, probablemente, la secuencia de los números primos (si te refieres a una forma cerrada en términos de funciones elementales).
Goldbach probó que no hay ningún polinomio con coeficientes enteros puede dar un primer para todos los valores enteros. Sin embargo, no es completamente claro que no hay algún primaria función que genera todos los números primos.
Hay todo un artículo de la wikipedia sobre las fórmulas de los números primos.
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