Mostrando derivada del polinomio ha $n$ distintas raíces

Question

Deje $$f_n(x)=\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}((1-x^2)^n)$$

Consejos sobre cómo mostrar que ha $n$ distintas raíces reales?

Answer 1

Mostrar que existe una relación (marque una similar relación con polinomios de Legendre):

$$ f_{n+1}(x) = (2n+1)\, x\, f_n(x) - 2n^2 f_{n-1}(x) $$

Observar que $f_1(x) = -2x$ $f_2(x) = 2(1-x^2)f_1(x)$ tienen diferentes distinto de cero raíces.

Y ahora asume todos los distinto de cero raíces de $f_n$ $f_{n-1}$ son diferentes, entonces, si $f_{n+1}(\alpha)=f_n(\alpha)=0$ algunos $\alpha\neq 0$, luego por la relación anterior $f_{n-1}(\alpha)=0$, una contradicción.

(He aquí una prueba de la relación anterior (o el equivalente para los polinomios de Legendre, que sólo difieren por un factor de normalización de la tuya): http://www.phys.ufl.edu/~fry/6346/legendre.pdf)