Un trigonométricas de la suma (es un Ramanujan suma?)

Question

Sea a la serie siguiente: $A=\{x \in \mathbb{N}^+: x\lt3003 \text{ and } (x,3003)=1 \}$.

Me pide encontrar el valor de $$\sum_{n\in A}\sin^2\left( \frac{n\pi}{3003}\right).$$

Answer 1

Para empezar, tenemos $3003=3\cdot 7\cdot 11\cdot 13$, por lo tanto $|A|=\varphi(3003)=1440$.
$\sin^2\theta = \frac{1}{2}\left(1-\cos(2\theta)\right) $, por lo tanto la suma es igual a $720$, menos de la mitad de la parte real de la suma de las raíces del polinomio cyclotomic $$ \Phi_{3003}(x) = x^{1440}-x^{1439}+x^{1437}+\ldots $$ y por Vieta del teorema se sigue que $$ \sum_{n\in A}\sin^2\left(\frac{\pi n}{3003}\right) = \color{red}{720-\frac{1}{2}}.$$

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Por Von Sterneck la fórmula de Ramanujan sumas , observamos que, en general,

$$ \sum_{\substack{1\leq n \leq M \\ \gcd(n,M)=1}}\!\!\!\sin^2\left(\frac{\pi n}{M}\right) = \frac{\varphi(M)-\mu(M)}{2}$$ donde $\varphi$ es de Euler totient función y $\mu$ es de Moebius función.