Encontrar el determinante de una matriz particular

Question

Me he encontrado con la cuestión de encontrar el determinante de la $(n\times n)$ matriz, dada por

$$A:= \begin{pmatrix} x & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & x & 1 & \dots & 1 \\ \vdots && \ddots & & \vdots \\ 1 & \dots & \dots & x & 1\\ 1 &\dots & \dots & 1&x^2 \end{pmatrix}$$

para todos $x \in \mathbb R$ y para todos $n\geq2$ . Sé que la respuesta es $$\det A =(x-1)^{n-1} \cdot (x^2+(n-1) x+n-1) \tag 1$$

y puedo demostrarlo por inducción si se me permite hacer algunas suposiciones a mano, cosa que no se me permite hacer porque era una pregunta de examen de una clase de matemáticas puras (álgebra lineal). Sin embargo creo que se me escapa algo porque sin tener un sistema de álgebra computacional, llegar a la ecuación $(1)$ ya es bastante difícil, por no hablar de las dos inducciones que tengo que hacer para mostrar la ecuación $(1)$ con algunas suposiciones a mano, lo que hace que la pregunta sea demasiado difícil para un examen de 2 horas.

¿Hay una forma más fácil de calcular este determinante?

Answer 1

Se suman todas las filas hasta la primera dando x + n-1 para todos menos el n-ésimo elemento, que es x² + n-1.

A continuación, se factoriza la x + n-1 (con la condición de que no sea cero, demuestre el caso trivial por separado; la solución general también es válida para x=-n+1), por lo que la primera fila se convierte en todos los unos excepto la entrada n-ésima.

Luego se resta la primera fila de todas las demás obteniendo una matriz triangular superior con una (1, x-1, ..., x-1, x²-(x²+n-1)/(x+n-1)) diagonal principal.

Ahora el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.

Entonces tenemos detA = (x+n-1) (x-1)^(n-2) (x²-(x²+n-1)/(x+n-1)) = (x1)^(n1) (x²+(n1)x+n1).