Algunas cuestiones sobre homología y cohomología celular

Question

Consideremos la estructura CW en $\mathbb{RP}^n$ dado por una celda en cada dimensión. Esto da lugar al complejo celular $C_\bullet(\mathbb{RP}^n)$ que es generado por un solo elemento $c_i$ para cada grado $0\le i\le n$ y con mapa de límites: $$\partial c_i=\cases{0&if $ i $ is even\\2c_{i-1}&if $ i $ is odd}$$ lo que nos da la homología habitual. Si dualizamos este complejo (con respecto a $\mathbb{Z}$ ), tenemos la cochain compex $C^\bullet(\mathbb{RP}^n)$ que es generado por los mapas: $$\begin{array}{rcrcl}c_i^*&:&C_i(\mathbb{RP}^n)&\longrightarrow&\mathbb{Z}\\&&c_i&\longmapsto&1\end{array}$$ El co-límite está dado por: $$\delta c_i^*=c_i^*\circ\partial=\cases{2c_{i+1}^*&if $ i $ is even\\0&if $ i $ is odd}$$ Y esto da una cohomología que es diferente de la cohomología singular habitual, como podemos ver por ejemplo en el hecho de que $H^0=0$ .

Ahora, si no he cometido errores estúpidos en lo anterior, esto demostraría que la cohomología celular no es (siempre) isomorfa a la cohomología singular, mientras que esto es siempre cierto en la homología. ¿Por qué ocurre esto?

Me han dicho que si tenemos una estructura de CW tal que el complejo celular puede incrustarse en el complejo singular (mediante un mapa en cadena), entonces las cohomologías de los complejos duales serán isomorfas. ¿Es esto siempre cierto? ¿Dónde puedo encontrar una prueba de este hecho? ¿La inclusión de complejos induce un isomorfismo en la homología (de modo que tenemos un isomorfismo en la cohomología debido al teorema de los coeficientes universales y $5$ -lemma)?

Perdón si son muchas preguntas para un solo post.

Answer 1

Tal y como ha salido en los comentarios, su duda sobre la cohomología celular de $\mathbb{RP}^n$ no ser isomorfo a la cohomología singular fue porque cambiaste los casos pares e Impares en $\partial$ , como se ve en Hatcher (edición en línea actual) p.144.

De hecho, la (co)homología celular es siempre isomorfa a la (co)homología singular para los complejos CW: Hatcher es de nuevo una buena referencia para esto, ver las páginas 139 para la homología y 203 para la cohomología. La prueba de la homología no implica mapas en cadena, cuasi isomorfismos u homotopías en cadena, sino que se basa en un argumento ad hoc de búsqueda de diagramas, en el que se utiliza el hecho de que los grupos en cadena del complejo celular en cadena son los gruops de homología singular relativa $H_i(X^i,X^{i-1})$ . Con $\mathbb{Z}$ es cierto que existe un cuasi isomorfismo (de hecho una homotopía en cadena) de los dos complejos, ya que es un hecho general que para los complejos de grupos abelianos, la homología isomórfica es una condición suficiente para que exista una homotopía en cadena (ver aquí ). No estoy seguro de si esto es válido para alguna clase más grande de módulos (como los módulos sobre PID), pero para los complejos en cadena de módulos sobre un anillo genérico esto es falso en general, y no estoy seguro de si resulta ser cierto en el caso de los complejos singulares y celulares del complejo CW (esto es lo que el OP parece estar preguntando aquí ).

De nuevo, la prueba estándar de la equivalencia de la cohomología singular o celular no opera con mapas a nivel de complejos de cadena, y es similar a la prueba para la homología, hasta el punto de que la mayor parte del argumento se maneja simplemente utilizando el teorema del coeficiente universal y el caso homológico, si recuerdo correctamente. Hatcher no sólo demuestra que $H^\bullet(X;G) \simeq H^\bullet_{CW}(X;G)$ pero también que el complejo celular de la cadena es el complejo dual del complejo celular de la cadena, lo que no es evidente en la definición.

Espero que todo esto responda a sus preguntas. Podría añadir detalles, pero Hatcher es realmente una muy buena referencia para todo esto.