Mostrar que $\dfrac{m - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ es un entero algebraico.

Question

Deje $m$ ser un entero tal que $m \equiv 2 \pmod 3$. Muestran que el número de $$\dfrac{m - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$$ es un entero algebraico.

La técnica más habitual, haciendo $x = \dfrac{m - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ y tratando de encontrar una expresión algebraica en términos de $x$ parece no funcionar en este caso (al menos yo no lo pude hacer). Alguien me puede ayudar? Esta es una pregunta de un viejo examen.

Answer 1

Aquí está una completa respuesta.

Deje $x=\dfrac{m-\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$

$\implies x\sqrt[3]{3}=m-\sqrt[3]{2}$

$\implies x\sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{2}=m$

$\implies 3x^3+2+3x^2.(3)^{2/3}.2^{1/3}+3x.(3)^{1/3}.2^{2/3}=m^3$

$\implies 3x^3+2+3x.(3)^{1/3}.2^{1/3}[x\sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{2}]=m^3$

$\implies 3x^3+2+3x.(3)^{1/3}.2^{1/3}.(m)=m^3$

$\implies 3x.(3)^{1/3}.2^{1/3}.(m)=m^3-3x^3-2$

Ahora cubicación de ambos lados, obtenemos

$-162x^3m^3=(3x^3-(m-2))^3=27x^9-27x^6m+x^3[9m^2-36m+90]-[m^3-6m^2+12m-8]$

$\implies 27x^9-27x^6m+x^3[162m^3+9m^2-36m+90]-[m^3-6m^2+12m-8]=0$ $\hspace{0.4cm}$ $(\star)$

Ahora tenemos $m \equiv\ 2\ \text{mod}\ {3} \implies m=3k+2$ para algunos entero $k$. Ahora, esto implica que $$m^2=9k^2+12k+4$$ & $$m^3=27k^3+54k^2+36k+8$$ .

Ahora poner estos valores en el coeficiente de $x^3$ es decir $162m^3+9m^2-36m+90$, se convierte en $27[6m^3+3k^2+2]$ y el constante $[m^3-6m^2+12m-8]$ hace $27k^3$, por lo tanto la ecuación de $\star$ hace $$27x^9-27x^6m+27[6m^3+3k^2+2]x^3-27k^3=0$$

$\implies$ $$x^9-x^6m+[6m^3+3k^2+2]x^3-k^3=0$$ which is monic and coefficients are integers and satisfies $\dfrac{m-\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$, thus $\dfrac{m-\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ is an algebraic integer. $\hspace{15} \blacksquare$

Answer 2

$x\sqrt[3]{2} = m - \sqrt[3]{2} \to \sqrt[3]{2} = \dfrac{m}{x+1} \to 2 = \dfrac{m^3}{x^3+3x^2+3x+1} \to 2x^3+6x^2+6x+2-m^3=0$. Por lo tanto $x$ es algebraica de números.

Answer 3

Otra prueba: es suficiente para demostrar $N(m-\sqrt[3]{2})$ es un número entero. Ahora la norma es el producto de los conjugados: si $j=\mathrm e^{\tfrac{2\mathrm i\pi}3}$, $$N\biggl(\frac{m-\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}\biggr)=\frac{(m-\sqrt[3]{2})(m-j\sqrt[3]{2})(m-j^2\sqrt[3]{2})}{\sqrt[3]3\cdot j\sqrt[3]{3}\cdot j^2\sqrt[3]{3} }\equiv \frac{m^3-2}3,$$ Como $m\equiv 2\mod3$, $\,m^3\equiv 8\equiv 2\mod 3$, por lo $m^3-2\equiv 0\mod 3$, lo que demuestra la afirmación.

Answer 4

Deje $x=\frac {m-\sqrt [3] 2}{\sqrt [3] 3}$

Deje $m=3k+2$

A continuación, $x=\frac {3k+2-\sqrt [3] 2}{\sqrt [3] 3}$

$x\sqrt [3] 3=3k+2-\sqrt [3] 2$

$x\sqrt [3] 3+\sqrt [3] 2 =3k+2$

$\left( x\sqrt [3] 3+\sqrt [3] 2 \right)^3 =\left(3k+2 \right)^3$

$3x^3+3\sqrt [3] {18}x^2+3\sqrt [3] {12}x+2=27k^3+54k^2+36k+8$

... no, no llegar a ninguna parte útil!

Answer 5

Deje $x=\frac{m-\sqrt[3]2}{\sqrt[3]3}$, y deje $y=\sqrt[3]3x$.
A continuación,$p(y)=(y-m)^3+2=0$.
Deje $\omega$ ser un complejo de cubo, raíz de $1$.
$p(y)p(\omega y)p(\omega^2y)=q(y^3)=q(3x^3)$ es un cúbicos en $y$ con coeficientes enteros. Se trata de un polinomio entero en $x$ con plomo coeficiente de $27$, y esperemos que el resto de coeficientes son múltiplos de $27$.