Cómo encontrar esta $x,y$ tal esta ecuación $x^x+x=y!$

Question

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x,y)$, $$x^x+x=y!$$

Me parece la $$(x,y)=(1,2)$$ es tal. y $$(x,y)=(2,3)$$

Creo que esta ecuación tiene otras raíces. y tal vez de usar la desigualdad a resolver esto? ya que el Uso de la desigualdad de Bernoulli tenemos $$x^x=(x-1+1)^x\ge 1+x(x-1)=x^2-x+1$$

Gracias por la ayuda, este problema es de Matemática concurso en china, la provincia de jiangxi en el 2014

Answer 1

$y\le 1$ conduce a ninguna solución. Para $y>1$ tenemos $y!=\prod_{k=1}^y k<\prod_{k=1}^y y=y^y$. Por lo tanto $y!=x^x+x$ implica $y^y>x^x$ e lo $y>x$ (la función de $f(t)=t^t$ es, obviamente, estrictamente creciente debido a $(t+1)^{t+1}>(t+1)^t>t^t$). Como usted ya ha encontrado la solución a $x=1, y=2$, podemos suponer que la $x>1$. Deje $p$ ser un divisor primo de $x$. A continuación, $x^{x-1}+1$ no es un múltiplo de a $p$, por lo tanto ni es $\frac{y!}{x}$. Es decir, si golpeamos $x$ de la lista $1, 2,\ldots, \not x,\ldots , y$, ninguno de los restantes números es múltiplo de $p$. Esto deja sólo la posibilidad de que $x=p$ ya que de lo contrario $p$ permanece en la lista. Por lo tanto $x$ es primo. Ya sabemos la solución $x=2$, $y=3$, por lo tanto, asumir que $x$ es una extraña prime. A continuación,$x^{x-1}+1\equiv 2\pmod 4$, por lo tanto $\frac {y!}x$ no es un múltiplo de a $4$. Esto implica $y<4$ y que ya se ha encontrado todas las soluciones con $y<4$ por exaustive de búsqueda.

Answer 2

Es fácil demostrar que si $x>3$ $x<y,$ $x-1\mid y!,$ pero $x^x+x\equiv 1^x+1\equiv 2\pmod{x-1},$ una contradicción.

Answer 3

Si $x>2$ es incluso, a continuación, $(x^{x-1}+1)x=y!$ muestra que el poder de $2$ dividiendo $y!$ divide $x$. Por lo tanto $$x\geq 2^{\lfloor y/2 \rfloor}.$$ For $x>2$ this implies $x>y$, a contradiction because $x^x+x>x!$.

Si $x>1$ es impar y $x^x+x=y!$,$y\geq 4$. Por lo tanto, $4 \mid y! = x^x+x$ $$x^{x-1}\equiv -1 \bmod 4.$$ Esto implica que $-1$ es un residuo cuadrático $\bmod\, 4$, una contradicción.

Answer 4

No hay ningún otro par de enteros para $x>2$.

Actualizada La Prueba:

1. Si $x$ no es primo:

   • $x^x \geq x! \implies x^x+x>x!$
   • Por lo tanto, debemos escoger la $y>x$
   • $x^x+x$ es divisible por $x$ exactamente una vez, porque $\frac{x^x+x}{x}=x^{x-1}+1$ no es divisible por $x$
   • Pero desde $x$ no es primo, para cada $y>x$ que elegimos, $y!$ es divisible por $x$ al menos dos veces

2. Si $x$ es un primo tal que $x \equiv 1 \bmod 6$, a continuación vamos a analizar $x^{x-1}+1$:

   • $x^K \equiv 1 \bmod 6$ para cada entero no negativo, $K$
   • $x^{x-1} \equiv 1 \bmod 6$, ya que el $x-1$ es un entero no negativo
   • $x^{x-1}+1 \equiv 2 \bmod 6$
   • $x^{x-1}+1$ no es divisible por $3$
   • $x^x+x$ no es divisible por $3$, por lo tanto, no $y>2$ existe tal que $x^x+x=y!$

3. Si $x$ es un primo tal que $x \equiv 5 \bmod 6$, a continuación vamos a analizar $x^{x-1}+1$:

   • $x^K \equiv 1 \bmod 6$ por cada no-negativo incluso entero $K$
   • $x^{x-1} \equiv 1 \bmod 6$, ya que el $x-1$ es un valor no negativo , incluso entero
   • $x^{x-1}+1 \equiv 2 \bmod 6$
   • $x^{x-1}+1$ no es divisible por $3$
   • $x^x+x$ no es divisible por $3$, por lo tanto, no $y>2$ existe tal que $x^x+x=y!$

4. Por último, si $x=3$$x^x+x=30$, y no $y$ existe tal que $y!=30$