¿Hay alguna relación entre los personajes en la teoría de la representación y multiplicativos personajes?

Question

Un personaje de un grupo de representación se obtiene tomando el seguimiento de cada matriz en esta representación.

El carácter de palabra se utiliza a menudo en el sentido de que es un homomorphism de un grupo a $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ (a veces con algunas propiedades adicionales). Este tipo de personajes surge, por ejemplo, en la dualidad de Pontryagin o como caracteres de Dirichlet en la teoría de números.

¿Hay alguna relación entre estos dos (uso frecuente) de los significados del mundo de carácter, o es sólo una coincidencia que la misma palabra se usa para los dos?

Answer 1

Un $1$-dimensiones de la representación de un grupo es un continuo homomorphism en $\Bbb C^\times$: en particular es igual a su propia traza (una vez que identificamos $\mathrm{GL}_1(\Bbb C)\cong\Bbb C^\times$). De manera que el grupo homomorphism definición de caracteres es el $1$-dimensional caso de la huella-de-una-representación de definición. Para copiar a mí mismo:

El homomorphisms $G\to \Bbb C^\times$ no son realmente toda la historia del personaje de la teoría, pero son una muy ordenado en el capítulo. Si $V$ es un espacio vectorial (sobre $\Bbb C$) y $G$ finito, el homomorphisms $G\to GL(V)$ $G$ en el grupo lineal general de invertible lineal mapas se llaman representaciones, que son esencialmente las formas para equipar $V$ lineal $G$ acción. Si $\rho$ es una representación, a continuación, el mapa dado por $\chi_\rho:G\to \Bbb C:g\mapsto\mathrm{tr}\,\rho(g)$ (la traza de la lineal mapa asociados a $g$, que es independiente de la base o coordinar opción para $V$) se llama un personaje.

Si $V$ es unidimensional (en cuyo caso llamamos a $\rho$ $\chi_\rho$ unidimensional), a continuación, $\rho=\chi_\rho$ y los personajes son multiplicativas. Tenga en cuenta que $\mathrm{tr}\,\rho(e_G)=\dim\,V$ muestra la dimensión se puede calcular directamente a partir de los caracteres, por lo que no hay ambigüedad con respecto a lo que la dimensión de un personaje puede tener. Con un distinguido base tenemos $V\cong \Bbb C^n$ en una manera obvia, así que podemos escribir la $GL(V)$$GL_n(\Bbb C)$, en los que estamos trabajando con la matriz de representaciones específicamente.

(Más aquí.)