¿Cuál es la probabilidad de que estos dos objetos son del mismo color?

Question

Tenemos $11$ contenedores con $10$ objetos cada uno. Cada objeto es blanco o negro, y el $i$th de reciclaje ($1 \le i \le 11$) tiene exactamente $(i -1)$ negro objetos que hay en ella. Alguien selecciona, uniformemente al azar, uno de esos contenedores y, a continuación, selecciona, también uniformemente al azar, dos objetos a partir de ella. ¿Cuál es la probabilidad de que estos dos objetos son del mismo color?

Answer 1

\begin{align}P(WW)&=\sum_{i=1}^{11}P(WW\mid bin=i)P(bin=i)=\sum_{i=1}^{9}\frac{\dbinom{10-(i-1)}{2}}{\dbinom{10}{2}}\frac{1}{11}\\[0.2cm]&=\frac{1}{11\cdot45}\sum_{i=1}^9\dbinom{11-i}{2}=\frac{1}{11\cdot 45}\sum_{i=0}^{8}\dbinom{2+i}{2}\\[0.4cm]P(BB)&=\sum_{i=1}^{11}P(BB\mid bin=i)P(bin=i)=\sum_{i=3}^{11}\frac{\dbinom{i-1}{2}}{\dbinom{10}{2}}\frac{1}{11}\\[0.2cm]&=\frac{1}{11\cdot45}\sum_{i=1}^{9}\dbinom{11-i}{2}=P(WW)\end{align} y la probabilidad de $p$ que los dos objetos son del mismo color es igual a $$p=P(WW)+P(BB)=2P(WW)$$

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La suma de los binomios puede ser calculada de la \begin{align}\sum_{i=0}^8\dbinom{2+i}{2}&=\sum_{i=0}^8\frac{(2+i)!}{2!i!}=\sum_{i=0}^8\frac{(2+i)(1+i)}{2}=\sum_{i=0}^81+\frac32\sum_{i=0}^8i+\frac12\sum_{i=0}^8i^2\\&=9+\frac32\cdot\frac{8(9)}{2}+\frac12\cdot\frac{8(9)(17)}{6}=165\end{align} y por lo tanto $$p=2\cdot \frac{165}{11(45)}=\frac{2(15)}{45}=\frac23$$ Note: the result (if the calculations are correct) is actually 1/3 WW, 1/3 BB and 1/3 BW, (order does not matter in BW) and indicates perhaps that there might be a faster way to solve this by observing some symmetry. In other words, if one could argue that $p(WW)=p(BB)=P(BW)$, entonces esto podría resolver el problema de inmediato, sin que todos estos cálculos.

Answer 2

El número de maneras de conseguir $2$ bolas negras $= \binom{0}{2} + \binom12 +\binom22 +..... +\binom{10}2 = \binom{11}{3}$
por las propiedades de los coeficientes binomiales (suma de los coeficientes binomiales sobre la parte superior del índice),

Por lo tanto $Pr$(ambas bolas son del mismo color) $= \dfrac{2\binom{11}{3}}{11\binom{10}2} = \dfrac23$

PS:

$$\text{Although the link gives it as} \sum_{j=0}^n \binom{j}{m} = \binom{n+1}{m+1}$$

$$\text{you can note that it reduces to} \sum_{j=m}^n \binom{j}{m} = \binom{n+1}{m+1}$$

que es el famoso palo de hockey de identidad