Dar una explicación intuitiva para el polinomio cociente del anillo, o polinomio anillo mod kernel

Question

He aprendido a ver cociente grupos intuitivamente cuando me enteré de un grupo mod sus colector de un subgrupo. Si tomamos un grupo de mod y todos los elementos que no conmutan, se obtiene un cociente grupo abelian. Simple, nada técnico.

Ahora estoy teniendo problemas para ver un polinomio anillo mod ideal.

Ejemplo de $1$: Evaluación hom. en $0$: $\ \ \ \varphi: \mathbb Z[x] \to \mathbb Z$ donde $\varphi(f(x))=f(0)$. Este hom. es surjective y su núcleo es el principal ideal generado por a$x$$(x)$. Por eso, $\mathbb Z[x]/(x) \cong \mathbb Z$.

Ejemplo de $2$: Evaluación hom. en $\sqrt 2$: $\ \ \ \psi: \mathbb Q[x] \to \mathbb Q[\sqrt 2]$. Sabemos $\mathbb Q[x]/(x^2-2) \cong \mathbb Q[\sqrt 2]$.

¿Qué es $\mathbb Z[x]/(x)$? ¿Qué hacen los cosets parece?

¿Qué es $\mathbb Q[x]/(x^2-2)$? ¿Qué hacen los cosets parece?

Intuitivamente, lo que se esta diciendo de mí? Cualquier otro ejemplos concretos para la intuición de un cociente del anillo?

Answer 1

Un elemento general de la $F[X]/(a_nX^n + \dotsb + a_0X^0)$ es de la forma $c_{n-1}X^{n-1} + \dotsb + c_0$ donde $X^n = \frac{a_{n-1}X^{n-1} + \dotsb + a_0X^0}{a_n}$, que es la única regla que necesitas saber para hacer la multiplicación. Ejemplo de ello es $\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)$, donde la forma general de la nada es$c_0 + c_1X$$X^2 = -1$; que es el de los números complejos. Otro ejemplo es $\mathbb{R}[X]/(X^2)$, donde cada elemento es de la forma $c_0 + c_1X$ donde $X^2 = 0$; esto es el doble de los números. La forma general de un elemento de $\mathbb{R}[X]/(X)$ es la forma general de un elemento de $\mathbb{R}$ porque $X = 0$. Estos ejemplos me ayude a ver lo que está pasando.

Un elemento general de la $\mathbb{Q}[X]/(X^2 - 2)$ es de la forma $c_0 + c_1X$ donde $X^2 = 2$.

Answer 2

En el polinomio anillos están explorando, no es un algoritmo de la división. Supongamos $p(x)$ es un monic polinomio y $q(x)$ es cualquier polinomio, luego de más de $\mathbb Z$ o $\mathbb Q$ hemos $$q(x)=p(x)s(x)+r(x)$$ for some polynomial $s(x)$ is less than where the degree of $r(x)$ is less than the degree of $p(x)$. The elements of the quotient ring of $\mathbb Q[x]$ or $\mathbb Z[x]$ by the ideal generated by $p(x)$ can be thought of as the remainders $r(x)$. The construction is equivalent to setting all the multiples of $p(x)$ es igual a cero.

Si dos restos de $r(x)$ $r'(x)$ están en la misma coset de la ideal, a continuación, $r(x)-r'(x)$ es divisible por $p(x)$ - pero $p(x)$ tiene un grado más alto, de modo que la diferencia debe ser cero y $r(x)=r'(x)$. Los restos pueden ser añadidos (no hay problema) y se multiplica si el resultado es menos que el resto en la división por $p(x)$ - a menudo decimos reducción de mod $p(x)$.

Esta respuesta es solo una pequeña introducción a un gran e importante tema, y no puede cubrir todo. Usted podría pensar por ti mismo lo que sucede en el $\mathbb Z$ al $p(x)$ no es monic (decir $p(x)=2x+1$). Esto no hace una diferencia en $\mathbb Q$ porque $\frac 12\in \mathbb Q$. Pero $2$ no es invertible $\mathbb Z$.

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En el segundo ejemplo con $x^2-2$, el resto son todos lineales de la forma $ax+b$. Desde $x^2-2$ cero al resto, podemos decir $x^2=2$ e identifique $x$ con una de las raíces cuadradas de $2$ (tenga en cuenta que hay dos posibilidades que son algebraicamente equivalentes - este es un hecho significativo - no podemos distinguirlos en forma algebraica). Los elementos pueden ser identificados con $a\sqrt 2+b$.