Hay una explicación intuitiva para la igualdad de la mezcla de los parciales?

Question

El hecho de que la mezcla de segundo orden en derivadas parciales de una $C^2$ liso escalar con valores de la función son iguales parece, para mí, bastante sorprendente. Por ejemplo, si usted interpretar $\frac{\partial ^2f}{\partial y \partial x}$ como el cambio de la pendiente de una línea tangente a lo largo de la $x$-eje cuando se mueve a lo largo de la $y$-eje, no es en absoluto evidente para mí que esto debe ser igual a $\frac{\partial ^2f}{\partial x \partial y}$.

¿Existe algún intuitiva o de manera visual para explicar esta la igualdad? Para que quede claro, yo no estoy buscando una prueba formal (esto se puede encontrar en la mayoría de los libros de texto), pero algo de razón intuitiva o sugerencia en cuanto a por qué esto podría ser cierto.

Answer 1

Una intuición es que si la función es suave suficiente, entonces es bien aproximada por su segundo grado del polinomio de Taylor, y la igualdad de la mezcla de los parciales es sencillo para los polinomios.

Vamos a centrarnos en sólo dos variables; en realidad, nada cambia si hay más. Una arbitraria de segundo grado en $x$ $y$ parece $$ q(x,y) = a + bx + cy + dx^2 + exy + fy^2 $$

Si calculamos el $(\partial^2 q)/(\partial x \partial y)$ obtenemos $e$, y si calculamos el $(\partial^2 q)/(\partial y \partial x)$ también obtenemos $e$. Así que en este caso especial, las parciales mixtas son iguales.

Si $f(x,y)$ es bastante suave, es bien aproximada por sus polinomios de Taylor. Por ejemplo, la de primer grado que el polinomio de Taylor es la ecuación del plano tangente en un punto dado, y este primer grado del polinomio está de acuerdo con $f$ en el primer derivadas parciales. Si $f$ es bastante suave, el segundo grado del polinomio de Taylor da una función cuadrática en $x$ $y$ que está de acuerdo con la primera y segunda derivadas. En particular, esto significa que la mezcla de segundo parciales de $f$ va a ser igual.

En el caso especial donde tenemos un segundo grado del polinomio de Taylor de una función de $f(x,y)$ en el punto de $(0,0)$, el polinomio tiene esta forma: $$ \begin{split} p(x,y) &= f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x}\Big |_{(0,0)}\cdot x +\frac{\partial f}{\partial y}\Big |_{(0,0)}\cdot y\\ & + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Big |_{(0,0)}\cdot \frac{x^2}{2}+ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\Big |_{(0,0)}\cdot xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\Big |_{(0,0)}\cdot \frac{y^2}{2} \end{split} $$