Demostrar que $S_n\sim2^{n+1}$ donde $S_n=\sum_{p=0}^n\sum_{q=0}^n\binom{n}{p}\binom{n}{q} e^{-pq}$ .

Question

Para $n\in\Bbb N$ , defina $$S_n=\sum_{p=0}^n\sum_{q=0}^n\binom{n}{p}\binom{n}{q} e^{-pq}$$ I quiero demostrar que $$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{2^{n+1}}=1$$

Mis intentos:

• Para $n\in\Bbb N^*$ , $$S_n=2^{n+1}-1+\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n\binom{n}{p}\binom{n}{q} e^{-pq}$$

• El papel de $e$ no es importante. De hecho, podemos sustituir $e$ con cualquier constante $x\ge1$ .

• Intenté utilizar algunos métodos similares (como el CLT) del límite inferior, pero fracasé. $$\lim_{n\to\infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}=\frac12$$

• Suma de $q$ da $$S_n=\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}(1+e^{-p})^{n}$$

• Algunos resultados de los cálculos: $$\frac{S_{10}}{2^{11}}\simeq1.23\qquad\frac{S_{20}}{2^{21}}\simeq1.01\qquad\frac{S_{30}}{2^{31}}\simeq1.00035$$

La respuesta del enlace en mi comentario está satisfecha. Sin embargo, también se apreciará si hay otras ideas.

Answer 1

Si ambos $p$ y $q$ son $\geq 2$ entonces $pq\geq p+q$ y esto permite una estimación elemental. Tenemos

$$ S_n = 2^{n+1}+2n\left(1+\frac{1}{e}\right)^n-\left(1+2n+\frac{n^2}{e}\right) +\sum_{p,q\in[2,n]}\binom{n}{p}\binom{n}{q}e^{-pq}$$ y $$\sum_{p,q\in[2,n]}\binom{n}{p}\binom{n}{q}e^{-pq}\leq \sum_{p,q\in[2,n]}\binom{n}{p}\binom{n}{q}e^{-(p+q)}=\left(\sum_{p=2}^{n}\binom{n}{p}e^{-p}\right)^2\leq\left(1+\frac{1}{e}\right)^{2n} $$ por lo que la afirmación se desprende del hecho de que $\left(1+\frac{1}{e}\right)^2<2$ .

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Esto no está realmente relacionado con el problema actual, pero creo que es interesante, de todos modos.
La última desigualdad se puede demostrar mediante Cauchy-Schwarz: por ejemplo, $$ \int_{0}^{1}\left(1+\frac{x}{2}\right)^2\,dx\int_{0}^{1}e^x\,dx \geq \left(\int_{0}^{1}\left(1+\frac{x}{2}\right) e^{x/2}\,dx \right)^2 $$ lleva a $\frac{19}{12}(e-1)\geq e$ Por lo tanto, a $\color{red}{e\geq\frac{19}{7}}$ y $$ \left(1+\frac{1}{e}\right)^2 \leq \left(\frac{26}{19}\right)^2<2. $$