Deje $n\in\Bbb Z_{>0}$. Determinar el grupo de Galois de $f(x)=x^n+1$$\Bbb Q$.
Estoy teniendo algunos problemas con esto. Empecé asumiendo $n$ es impar, entonces $f(-x)=(-x)^n+1=-(x^n-1)$, entonces el grupo de Galois de $f(x)$ es lo mismo que $x^n-1$. Sabemos que $\operatorname{Gal}(x^n-1/\Bbb Q)\cong (\Bbb Z/n\Bbb Z)^\times$, por lo que este es el grupo de Galois de $f(x)$ $\Bbb Q$ por extraño $n$.
No estoy seguro de qué hacer para el caso general ($n$ o impar). He estado haciendo algunas investigaciones, y he visto a personas que sostienen que la división de campo de $x^n+1$ $\Bbb Q$ es igual a la de la $x^{2n}-1$$\Bbb Q$, ya que el $x^{2n}-1=(x^n+1)(x^n-1)$, por lo que cualquier solución a $x^n+1=0$ es $x^{2n}-1=0$. Por ejemplo, la aceptación de la respuesta aquí. Entonces yo sería capaz de concluir que la $\operatorname{Gal}(x^n+1/\Bbb Q)\cong(\Bbb Z/2n\Bbb Z)^\times$. Sin embargo, no entiendo por qué esto nos permite concluir que la división de campo de $x^n+1$ $\Bbb Q(\zeta_{2n})$ a pesar de ($\zeta_{2n}$ una primitiva $2n$-ésima raíz de la unidad).
Respuesta
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Todas las raíces de $x^n-1$ han pedido dividiendo $n$, y hay una raíz de $x^{2n}-1$ de orden exacto $2n$. Desde $$x^{2n}-1 = (x^n+1)(x^n-1)$$ sabemos que hay una raíz de $x^n+1$ de orden exacto $2n$, decir $\zeta$. Las raíces de $x^{2n}-1$ son precisamente $$1,\zeta,\dots,\zeta^{2n-1}$$ Así que las raíces de $x^n+1$ son un subconjunto de este contengan $\zeta$. Así que la división de campo de la $x^n+1$$\mathbb{Q}(\zeta)$, que es la misma que la división de campo de la $x^{2n}-1$. Llegamos a la conclusión de que el grupo de Galois es isomorfo a $(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^{\times}$.
Tenga en cuenta que no es necesario considerar dos separados de los casos: si $n$ es impar, entonces $$(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^{\times} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\times}\times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$$ De hecho, tenemos el mismo como lo que ya se notó en el inicio de su pregunta.
