deje $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=5$,y $$a_{n}=3a_{n-1}a_{n-2}-a_{n-3}$$
mostrar que $a_{n}=a^2+b^2,a,b\in N$
mientras que $a_{1}=0^2+1^2,a_{2}=2=1^2+1^2,a_{3}=5=2^2+1^2,a_{4}=29=5^2+2^2,a_{5}=433=17^2+12^2$ y así sucesivamente
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay muchas de esas propiedades que involucran los números de Markov, ver también OEIS, que en conjunto forman un árbol en lugar de una sola secuencia. Los números son ninguna de las variables (necesario para ser enteros positivos) en $$ x^2 + y^2 + z^2 = 3 x y z. $$ Your sequence $1,2,5,29,433,37666,48928105,\ldots$ is the fastest growing branch in the tree, in that you are replacing (jumping out) the smallest number in the current triple. The slowest growing branch is the Fibonacci numbers with odd index $1,2,5,13,34,89,233,610,1597,\ldots,$ en que el tamaño medio de número en el triple es reemplazado. Ver jpeg muy por debajo. Oh, si va a reemplazar el mayor número en el triple, salto de nuevo más cerca de la raíz. Viajar dentro del árbol es uno de los más graves de los usos de la Vieta de Salto. La otra seria usar, con artículos recientes en la AMS Boletín por Kontorovich y por E. Fuchs, es Apolíneo Juntas. Me gustaría poner, como mínimo, enlaces a Wikipedia en Vieta Saltar y Apolíneo Juntas apuntando el uno al otro, pero he tenido un poco de suerte con la Wikipedia y la relación no se ha notado en la impresión.
Su propiedad (la suma de dos cuadrados) es verdadera para todos los números de Markov.
Lo más llamativo de la propiedad, para mí, es que si $m$ es un número de Markov, a continuación, $$9m^2 - 4 $ $ es la suma de dos cuadrados.
La menor prueba de que $m$ sí es la suma de dos cuadrados es probablemente esto: en $$ x^2 + y^2 + z^2 = 3 x y z $$ the initial solution is $(1,1,1).$ So the greatest common divisor is $1.$ There is a proof by induction that $\mcd (x,y,z)=1$ whenever $(x,y,z)$ is such a Markov triple; we are going to move to a new triple with $z' = 3 x - y- z.$ If there is any prime $p$ that divides all three $3xy-z,x,y$ Then it also divides $(3xy) -(3xy-z)=z,$ causing $\gcd (x,y,z) \neq 1,$ violar la inducción de la asunción.
Ahora, $$ 3xyz - z^2 = x^2 + y^2, $$ $$ z(3xy - z) = x^2 + y^2. $$ SI hay alguna prime $q \equiv 3 \pmod 4,$ tal que $q |z,$ también sería cierto que $q|(x^2 + y^2).$ sin Embargo, es un estándar de hecho de que si ese $q|(x^2 + y^2),$$q|x$$q|y.$, por Lo que, si esto ocurriera, $q$ se divide a los tres, violando $\gcd (x,y,z)=1.$ tenga en cuenta que el mismo truco funciona para mostrar que $z$ no puede ser divisible por 4, de lo contrario, todos los tres números serían aún. Como resultado, cualquier número de Markov $m$ no es divisible por 4 o por cualquier prime $q \equiv 3 \pmod 4,$, por lo que se puede escribir primitivamente como la suma de dos cuadrados, $m = u^2 + v^2$ $\gcd(u,v)=1.$
La prueba estándar de hecho: (parece DonAntonio tiene este; oh, bueno...) Si $q \equiv 3 \pmod 4$ y $$ x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod q, $$ ASSUME $y \neq 0 \pmod q.$ Entonces $$ x^2 \equiv - y^2 \pmod q, $$ but $de$ y tiene un inverso multiplicativo en este campo, y $$ x^2 / y^2 \equiv - 1 \pmod q, $$ $$ (x / y)^2 \equiv - 1 \pmod q, $$ que viola el hecho de que $-1$ no es un residuo cuadrático de los números primos $q \equiv 3 \pmod 4.$
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Esta es la página 19 de Cusick y Flahive
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DonAntonio
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104482
Esperamos que usted ya sabe la muy agradable teorema de la teoría de números que indica que un número natural puede ser escrito como la suma de dos cuadrados iff cada divisor primo de el número que es igual a $\,3\pmod 4\,$ aparece a una potencia par (los números primos que se $\;1\pmod 4\;$ o $\;2\;$ hacer sin problemas).
Ahora usted puede utilizar algunos de inducción, demostrando/señalando que:
-- Si $\,p\,,\,q\,$ son dos primos $\,p,q=1\pmod 4\implies pq=1\pmod 4\,$
-- El único de los números primos dividiendo $\,a_n\,,\,\,n\ge 2\;$ , se $\,1\pmod 4\;$ o $\,2\,$
