Respuestas
¿Demasiados anuncios?Si k es impar, entonces es fácil: tome A_{2m} = -A_{2m+1} por cada m\ge 1, de modo que toda la expresión se reduce a A_1^{-1} = A_1^{-1} que es verdad en todos los A_1 invertible.
Si k es incluso, a continuación, utilizando el mismo truco que antes, lo que queda es A_1^{-1} + A_2^{-1} = (A_1+A_2)^{-1} Así que si usted lo solucionamos k=2, a resolver para cada k.
Vamos a demostrar que n=3 k=2 produce un absurdo. Resulta que 2I + A_1A_2^{-1} + A_2A_1^{-1} = I y si X = A_1A_2^{-1} X^{-1} = A_2A_1^{-1} y X^2 + X + I = 0. Esto significa que el polinomio mínimo de aXx^2+x+1, por lo que el polinomio característico debe ser (x^2+x+1)^m algunos m, pero, a continuación,n=2m=3, que es imposible.
SUGERENCIA
Si la definición de la identidad es de izquierda a derecha multiplicado por P^{-1} P \eqalign{ & P^{\, - 1} \left( {{I \over {A_{\,1} }} + {I \over {A_{\,2} }} + \cdots + {I \over {A_{\,k} }}} \right)P = \left( {{I \over {PA_{\,1} P^{\, - 1} }} + \cdots + {I \over {PA_{\,k} P^{\, - 1} }}} \right) = \cr & P^{\, - 1} {I \over {A_{\,1} + A_{\,2} + \cdots + A_{\,k} }}P = {I \over {PA_{\,1} P^{\, - 1} + \cdots + PA_{\,k} P^{\, - 1} }} \cr} por lo tanto \{PA_kP^{-1}\} también satisface la identidad.