Encontrar matrices con $A_1^{-1}+A_2^{-1}+...+A_k^{-1}=(A_1+A_2+...+A_k)^{-1}$

Question

<blockquote> <p>Demostrar que para cualquier $n, k\geq2$ existen matrices nondiagonal nonsingular $A_1, A_2, ..., A_k\in M_n(\mathbb{R})$ tal que % $ $$A_1^{-1}+A_2^{-1}+...+A_k^{-1}=(A_1+A_2+...+A_k)^{-1}$</p> </blockquote> <p>$n=2$, Si tenemos $A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}$, si no me equivoco, podemos demostrar que $\det(A)=\det(B)=\det(A+B)$ si $A,B\in M_n(\mathbb{R})$, así que sería natural a tener en cuenta que $\det(A_1)=\det(A_2)=...=\det(A_k)$, pero desde aquí no tengo ni idea que debo hacer. ¿Qué debemos hacer?</p>

Answer 1

Si $k$ es impar, entonces es fácil: tome $A_{2m} = -A_{2m+1}$ por cada $m\ge 1$, de modo que toda la expresión se reduce a $A_1^{-1} = A_1^{-1}$ que es verdad en todos los $A_1$ invertible.

Si $k$ es incluso, a continuación, utilizando el mismo truco que antes, lo que queda es $$ A_1^{-1} + A_2^{-1} = (A_1+A_2)^{-1} $$ Así que si usted lo solucionamos $k=2$, a resolver para cada $k$.

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Vamos a demostrar que $n=3$ $k=2$ produce un absurdo. Resulta que $$ 2I + A_1A_2^{-1} + A_2A_1^{-1} = I $$ y si $X = A_1A_2^{-1}$ $X^{-1} = A_2A_1^{-1}$ y $$ X^2 + X + I = 0. $$ Esto significa que el polinomio mínimo de a$X$$x^2+x+1$, por lo que el polinomio característico debe ser $(x^2+x+1)^m$ algunos $m$, pero, a continuación,$n=2m=3$, que es imposible.

Answer 2

SUGERENCIA

Si la definición de la identidad es de izquierda a derecha multiplicado por $P^{-1}$ $P$ $$ \eqalign{ & P^{\, - 1} \left( {{I \over {A_{\,1} }} + {I \over {A_{\,2} }} + \cdots + {I \over {A_{\,k} }}} \right)P = \left( {{I \over {PA_{\,1} P^{\, - 1} }} + \cdots + {I \over {PA_{\,k} P^{\, - 1} }}} \right) = \cr & P^{\, - 1} {I \over {A_{\,1} + A_{\,2} + \cdots + A_{\,k} }}P = {I \over {PA_{\,1} P^{\, - 1} + \cdots + PA_{\,k} P^{\, - 1} }} \cr} $$ por lo tanto $\{PA_kP^{-1}\}$ también satisface la identidad.