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Encontrar matrices con A11+A12+...+A1k=(A1+A2+...+Ak)1

<blockquote> <p>Demostrar que para cualquier n,k2 existen matrices nondiagonal nonsingular A1,A2,...,AkMn(R) tal que % A11+A12+...+A1k=(A1+A2+...+Ak)1</p> </blockquote> <p>n=2, Si tenemos A1+B1=(A+B)1, si no me equivoco, podemos demostrar que det si A,B\in M_n(\mathbb{R}), así que sería natural a tener en cuenta que \det(A_1)=\det(A_2)=...=\det(A_k), pero desde aquí no tengo ni idea que debo hacer. ¿Qué debemos hacer?</p>

6voto

Exodd Puntos 2144

Si k es impar, entonces es fácil: tome A_{2m} = -A_{2m+1} por cada m\ge 1, de modo que toda la expresión se reduce a A_1^{-1} = A_1^{-1} que es verdad en todos los A_1 invertible.

Si k es incluso, a continuación, utilizando el mismo truco que antes, lo que queda es A_1^{-1} + A_2^{-1} = (A_1+A_2)^{-1} Así que si usted lo solucionamos k=2, a resolver para cada k.


Vamos a demostrar que n=3 k=2 produce un absurdo. Resulta que 2I + A_1A_2^{-1} + A_2A_1^{-1} = I y si X = A_1A_2^{-1} X^{-1} = A_2A_1^{-1} y X^2 + X + I = 0. Esto significa que el polinomio mínimo de aXx^2+x+1, por lo que el polinomio característico debe ser (x^2+x+1)^m algunos m, pero, a continuación,n=2m=3, que es imposible.

0voto

G Cab Puntos 51

SUGERENCIA

Si la definición de la identidad es de izquierda a derecha multiplicado por P^{-1} P \eqalign{ & P^{\, - 1} \left( {{I \over {A_{\,1} }} + {I \over {A_{\,2} }} + \cdots + {I \over {A_{\,k} }}} \right)P = \left( {{I \over {PA_{\,1} P^{\, - 1} }} + \cdots + {I \over {PA_{\,k} P^{\, - 1} }}} \right) = \cr & P^{\, - 1} {I \over {A_{\,1} + A_{\,2} + \cdots + A_{\,k} }}P = {I \over {PA_{\,1} P^{\, - 1} + \cdots + PA_{\,k} P^{\, - 1} }} \cr} por lo tanto \{PA_kP^{-1}\} también satisface la identidad.

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