Que $z\in \mathbb C$ tal que $Re (z) >0 $ y $Im(z)\ne 0$. ¿Entonces debe existir entero $n>1$ tal que $Re (z^n)
¿Equivalente, dado $\theta \in [0, 2\pi)$ tal que $\cos \theta >0$ y $\sin \theta \ne 0$, allí debe existan $n>1$ entero tal que $\cos (n\theta)
Sí, es cierto.
Sin pérdida de generalidad, nos centramos en $z$$|z| = 1$, y escribir $z = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$, con $\theta \en (0, \frac\pi2) \cup ( \frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ (since you're excluding real $z$, and only allowing $z$ with positive real part). Recall that by De Moivre, we have $z^k = \cos(k \theta) + i \sin(k \theta)$.
Tenga en cuenta que el complejo conjugado $\bar{z}$ tiene la misma parte real como $z$, y lo mismo va para $\bar{z}^n = \overline{z^n}$. Por esta razón, $z$ tiene algún poder con parte real negativa si y sólo si $\bar{z}$. Por lo tanto, se puede suponer que $\theta \in (0, \frac\pi2)$.
La idea básica es que el $\theta$ debe ser entre dos ángulos de la forma $\frac\pi n$ $\frac{\pi}{n+1}$ de las grandes suficientemente $n$, y estos son (relativamente) fácil demostrado tener un múltiplo común en el 2º cuadrante, por lo tanto algunos de los múltiples de $\theta$ es demasiado.
Debido a $\theta \in (0, \frac\pi2)$, existe alguna $n$, de modo que $\frac{\pi}{n+1} \le \theta < \frac{\pi}{n}$ (esto es equivalente a un $n$ tal que $n < \frac{\pi}{\theta} \le n + 1$), donde $n > 2$.
En consecuencia, $\frac{n}{n+1}\pi \le n \theta < \pi$, donde $$\frac{n}{n+1}\pi = (1 - \frac{1}{n+1})\pi > (1 - \frac{1}{n})\pi > \frac\pi2$$ desde $n > 2$.
Por lo tanto, $\frac{\pi}{2} < n\theta < \pi$, por lo tanto $\cos(n\theta)$, la parte real de la $z^n$, es negativo.
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