Encontrar un polinomio $g(x)$ tal que $ g(x)g(x-1)=g(x^2)$

Question

Encontrar todos los polinomios $g(x)$ con coeficientes reales con la propiedad $$g(x)g(x-1)=g(x^2).$$

Mi intento: He encontrado $$g(x)=(x^2+x+1)^n$$ satisface la condición; ¿quizás haya otra solución? Si es así, ¿cómo demostrarlo (y/o encontrarlas)?

Gracias.

Answer 1

Una pista: ¿Qué puedes decir sobre las raíces del polinomio?

(Los siguientes son los pasos. Rellene el resto de los detalles usted mismo. Debería estar claro por qué esto funciona. He eliminado todo el texto posible debido a la petición del OP en los comentarios).

Si $g(x) = g$ es constante, entonces $g^2 = g$ .

Por lo demás, $\deg g \geq 1$ . Dejemos que $g(\alpha) = 0 $ .

Paso 1: $g( \alpha) = 0 \Rightarrow | \alpha | = 0 $ o 1.

Paso 2: Si $\alpha = 0 \Rightarrow g(n^2 ) = 0\, \forall n \in \mathbb{N}$ . $\Rightarrow \Leftarrow$

Paso 3: Si $|\alpha |= 1 \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}, \alpha^n = 1$ .

Paso 4: Si $\alpha^n = 1$ , entonces para $\beta = (\alpha + 1)^2$ tenemos $g(\beta) = 0 $ .

Paso 5: $\alpha = ??$

Paso 6: Si $(x-\alpha)^m \mid g(x) \Rightarrow (x-\beta)^m \mid g(x).$

Paso 7: Por lo tanto $g(x) = (x^2 + x+1)^n$ .