Parcial de la diferenciabilidad y Continuidad

Question

Si una función tiene, digamos, derivadas parciales hasta el orden n, se puede concluir la continuidad de algunos o de todos derivados de orden inferior?

Especialmente, si una función tiene derivadas parciales de cualquier orden es automáticamente suave?

Answer 1

Considere la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definido por $$f(x,y):=\frac{xy}{x^2+y^2}$$ para$(x,y)\ne (0,0)$$f(0,0):=0$.

Esta función tiene derivadas parciales de cualquier orden en cualquier lugar en $\mathbb{R}^2$ (tenga en cuenta que en el $x$ - $y$ - ejes es sólo 0), pero no es continua.

Edit: ahora veo que esto no es un contraejemplo porque $\frac{\partial f}{\partial x}$ ya no es cero en el $y$-eje, por lo $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ no existe. Así que aquí está corregido un contraejemplo: $$f(x,y):=e^{-\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2 y^2}}$$ para $x\ne 0, y\ne 0$ $f(x,y)=0$ sobre los ejes de coordenadas. Esta función no es continua en 0 (considerar la restricción a la línea de $x=y$), pero es suave por fuera de 0, y todos los derivados que todavía tienen la propiedad de que están a 0 en los ejes de coordenadas. Por lo tanto todas las derivadas parciales de cualquier orden también existen en 0.