Leyendo algunos libros sobre geometría diferencial, se encontró que $S^{2n}$ (con $ n>1$ ) no son colectores simbólicos. Dicen que es porque la cohomología de Rham de estas esferas son R, pero no entiendo este argumento. Sería útil que alguien me explicara este hecho (una explicación tonta)...thx.
Respuestas
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Los colectores simbólicos compactos deben tener un diseño no trivial $H^2$ .
Un colector simbólico $M^{2n}$ por definición, posee una forma cerrada, no degenerada, de dos formas $ \omega $ . Porque $ \omega $ está cerrado (es decir, $d \omega = 0$ ), $ \omega $ representa una clase de cohomología de Rham $[ \omega ] \in H^2(M)$ . La condición de no degenerar implica $ \omega ^n$ (el producto de la cuña de $ \omega $ con sí mismo $n$ veces) es una forma de volumen. Esto significa que si $M$ es compacto, $ \int_M \omega ^n$ es distinto de cero, y $[ \omega ]^n$ es distinto de cero en $H^{2n}(M)$ que significa $[ \omega ]$ debe ser distinto de cero en $H^2(M)$ . En particular, $H^2(M)$ debe ser distinto de cero, lo que no es el caso de $S^{2n}$ para $n>1$ . ( $H^ \ast (S^k) = \mathbb {R} \text { if } \ast = 0 \text { or } k$ y de lo contrario es cero).
Khushi
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Supongamos que $(X, \omega )$ es un múltiple simbólico cerrado de dimensiones $2n$ . Si $ \omega = d \alpha $ Entonces $$ \int_X\omega ^n = \int_X d( \alpha\wedge \omega ^{n-1}) = \int_ { \partial X} \alpha\wedge \omega ^{n-1} = 0$$ pero esto es absurdo ya que $ \omega ^n$ es una forma de volumen. Por lo tanto, una forma simbólica en un colector cerrado no es exacta, por lo que define un elemento no cero de $H^2_{ \text {dR}}(X)$ . Como $H^2_{ \text {dR}}(S^{2n}) = 0$ para $n > 1$ , $S^{2n}$ no es simbólico.
Se puede utilizar un argumento similar para demostrar que $ \omega ^k$ no es exacto para $k = 1, \dots , n$ así que de hecho $H^{2k}_{ \text {dR}}(X) \neq 0$ para un colector simbólico cerrado $X$ .
