Existencia de función por todas partes sin límites pero con cada punto de un mínimo local

Question

¿Existe una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ satisface la siguiente?

1. $f$ es ilimitada por encima en cada intervalo abierto.
2. Para cada $x$, existe un intervalo abierto $S$con $x$ tales que para todos los $u\in S$, $f(x)\leq f(u)$ %.

Answer 1

Suponga $f$ es una función de este tipo.

Para $n\in\mathbb N$, la $U_n:=\{x\in\mathbb R\mid f(x)\ge n\}$ es abierta, porque por la propiedad $2$, $x\in U_n$ implica que existe un intervalo abierto $S$$x\in S\subseteq U_y$. Por otra parte, $\overline {U_n}=\mathbb R$ debido a que para cada $x\in \mathbb R$ y cada abierto neighbourthood $U$$x$, propiedad de $1$ dice que $U_n\cap U\ne \emptyset$. Deje $$A=\bigcap_{n\in\mathbb N} U_n.$$ A continuación, por lo que hemos visto, $A$ es una contables intersección de densos bloques abiertos. Por la categoría de Baire teorema de la, $\overline A=\mathbb R$, especialmente, $A\ne\emptyset$. Si $a\in A$, a continuación, nos encontramos con $a\in U_n$ todos los $n$ $f(a)\ge n$ todos los $n\in\mathbb N$, lo cual es absurdo.

Por lo tanto, no $f$ existe.