Hartshorne, escribió en Apéndice B su libro que se puede ser fácilmente demostrado que una variedad algebraica compleja está conectada en la topología generalmente, si y sólo si está conectado en topología de Zariski. ¿Cómo puede demostrarse?
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Nir
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Si $X$ es un complejo algebraicas proyectivas de la variedad, de la canónica de morfismos $$ H^i(X, F)\stackrel {\cong}{\to} H^i(X^{an},F^{an})$$ is an isomorphism of complex finite-dimensional vector spaces for all coherent sheaves on the algebraic variety $X$.
En particular, para $i=0$ $F=\mathcal O_X$ tenemos un isomorfismo $$\Gamma(X, \mathcal O_X) \stackrel {\cong}{\to} \Gamma(X^{an}, \mathcal O_X^{an}) \quad (\bigstar)$$ Now $X$ is connected in the Zariski topology iff the left-hand side has dimension $1$, and similarly $X^{an}$ is connected in the classical topology iff the right-hand side has dimension $1$.
El isomorfismo $(\bigstar)$ implica entonces que$X$ está conectado en su topología de Zariski iff $X^{an}$ está conectado en su clásica topología.
La prueba sólo funciona para proyectiva (o un poco más general, para completar) variedades y utiliza toda la potencia de GAGA pero , hey, ¿quién puede resistirse al placer de disparar a las moscas con misiles balísticos?
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Como una respuesta a Makoto comentario, con el fin de demostrar que conectado a un reducido compacto de la analítica de espacio en todas holomorphic funciones de $f:X\to \mathbb C$ son constantes, puede ser divertido en el espíritu de bombardear a los mosquitos para invocar Remmert del teorema según el cual, $f(X)$ es analítica en $\mathbb C$ , ya que el $f$ es adecuado. Por lo tanto es un punto, ya que es compacto y conectado!
Travis
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Es fácil, al menos en el afín caso. (con lo que la variedad $X=\text{Spec }\mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]$ algunos $n$.
Si $X$ está desconectado (es decir, de dos componentes para la simplicidad) en la topología usual, luego de su sección global se descompone en productos directos: $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)= \Gamma(U,\mathcal{O}_X) \times \Gamma(V,\mathcal{O}_X)$. Tomando $\text{Spec }$ esto da $X$, y es un resultado estándar (Hartshorne, 2.19, Capítulo II, por ejemplo), que $\text{Spec } A$ se desconecta si y sólo si $A$ puede ser escrito como un producto directo de cero anillos. Mucho de esta parte está mal. Ver Zhen Lin comentario más abajo.
Por otro lado, si asumimos $X$ se desconecta en la topología de Zariski. Dado que la topología de Zariski está contenida en la topología usual, cada clopen (cerrado y abierto) también está clopen en la topología usual. Un espacio topológico es desconectado si y sólo si existe un no-trivial clopen conjunto.
