¿Por qué algunas funciones$f(x,y)$ pueden ser discontinuas pero sus derivadas parciales aún podrían existir?

Question

¿Por qué algunas funciones$f(x,y)$ pueden ser discontinuas pero sus derivadas parciales aún podrían existir?

Estoy un poco confundido, ... la relación entre continuidad, límites, derivadas parciales y diferenciación. No entiendo eso de la definición muy bien.

Answer 1

La suelto, la mano de la ondulado respuesta a todo esto es que una vez que usted se mueve más allá de las funciones de una sola variable, el número de posibles maneras de equivocarse explota.

Vamos a tomar límites y continuidad. Para una sola variable funciones, el límite existe en un punto si se obtiene el mismo valor de acercarse a ese punto de la izquierda o la derecha. Si este valor coincide con la el valor de la función en ese punto, continua así. Con una función multivariable, no sólo hay un número infinito de direcciones a las que todos tienen que estar de acuerdo, pero el valor que obtiene a lo largo de cualquier camino que se acerca el punto tiene que ser coherente así. Así, por ejemplo, usted podría tener una función de dos variables para las que el límite a medida que nos acercamos a un punto a lo largo de cualquier línea recta es el mismo, pero se obtiene una completamente diferente respuesta si usted sigue una trayectoria parabólica.

La diferenciación es más de lo mismo en que la aproximación lineal para el cambio en el valor de la función ha de ser coherente para todas las maneras que usted puede acercarse a la punta. Derivadas parciales son realmente derivadas direccionales en la dirección positiva de los ejes de coordenadas. Así, al calcular una función de las derivadas parciales, de todos los infinitos posibles caminos que acercarse a un punto en el que está sólo en busca de la manera como la función se comporta a lo largo de un determinado conjunto finito de líneas a través del punto. Que no es suficiente para garantizar que la función es continua ni derivable, ya que se podría estar haciendo algo radicalmente diferente a lo largo de todos los otros caminos que no ha examinado. Un pariente de la función que he planteado en el párrafo anterior no sólo tiene derivadas parciales en el punto, pero cada direccional derivado existe, y sin embargo, ni siquiera es continua, y no digamos diferenciable.