¿Es cierto que cada $k\in\mathbb N$, existen infinitamente muchos $n \in \mathbb N$ tal que $kn+1 , (k+1)n+1$ ambos son cuadrados perfectos?

Question

¿Es cierto que cada $k\in\mathbb N$, existen infinitamente muchos $n \in \mathbb N$ tal que $kn+1 , (k+1)n+1$ ambos son cuadrados perfectos? Lo que he intentado es que tengo que resolver necesariamente $a^2-b^2=n$ para $n$; pero no puedo seguir adelante. Por favor ayuda. Gracias de antemano

Answer 1

La respuesta es Sí.

I. (Actualización)

La solución,

$$\begin{aligned} kn+1 &= x^2\\ (k+1)n+1 &= y^2 \end{aligned}$$

está dada por,

$$n = \frac{ -(\alpha^2 + \beta^2) + \alpha^{2(2m+1)}+\beta^{2(2m+1)} }{4k(k+1)}$$

donde,

$$\alpha = \sqrt{k}+\sqrt{k+1}\\ \beta = \sqrt{k}-\sqrt{k+1}$$

Por ejemplo, para $m=1,2,\dots$ somos,

$$\begin{aligned} n &= 8 + 16 k \\ n &= 24 + 176 k + 384 k^2 + 256 k^3 \\ \end{aligned}$$

y así sucesivamente.

II. (Respuesta anterior)

$$\begin{aligned} kn+1 &= x^2\\ (k+1)n+1 &= y^2 \end{aligned}\tag1$$

Eliminar $n$ entre ellos y nosotros el Pell-como,

$$(k+1)x^2-ky^2 = 1$$

Podemos obtener un número infinito de soluciones a partir de una transformación (que comentamos en este post). Deje $p,\,q = 4k+1,\;4k+3$, entonces,

$$x = p u^2 + 2 k q u v + k (k+1) p v^2$$

$$y = q u^2 + 2 (k+1)p u v + k (k+1) q v^2$$

y $u,\color{brown}\pm v$ resolver la ecuación de Pell,

$$u^2-k(k+1)v^2 = 1$$

Esto tiene solución inicial,

$$u = 2 k+1,\quad v = 2$$

y un infinito más. Por lo tanto,

$$\begin{aligned} n &= 8 + 16 k \\ n &= 24 + 176 k + 384 k^2 + 256 k^3 \\ n &= 48 + 736 k + 3968 k^2 + 9472 k^3 + 10240 k^4 + 4096 k^5 \\ n &= 80 + 2080 k + 20096 k^2 + 93952 k^3 + 235520 k^4 + 323584k^5 + 229376 k^6 + 65536 k^7 \end{aligned}$$

y así sucesivamente para un infinito número de $n$ cualquier $k$.