¿Es correcta mi división general de polinomios?

Question

Quiero dividir la función general $$ f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i $$ por $(x - x_0)$ .

¿Es correcto mi resultado? $$ f(x) = (x - x_0) \left(\sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n (a_j x_0^{i - 1} x^{i - 1}) + \frac{\sum_{k = 0}^n \sum_{l = k}^n (a_k x_0^{l - k})}{x - x_0}\right) $$

Answer 1

No es así. La teoría dice que existen algunos polinomios $P$ y $Q$ tal que $\forall x, f(x)=P(x)(x-x_0)+Q(x)$ con $\deg Q < 1$ Es decir, que $Q=c \in \mathbb R$ .

Enchufando $x=x_0$ en la igualdad anterior da como resultado $c=f(x_0)=\sum_{i = 0}^{n} a_i x_0^i$ .

Por lo tanto, $\forall x, f(x)-f(x_0)=P(x)(x-x_0)$ que se puede reescribir como $$\forall x, \sum_{i=0}^n a_i (x^i-x_0^i)=P(x)(x-x_0)$$

Utilizando esta identidad produce $$\forall x, (x-x_0)\sum_{i=1}^n \sum_{k=0}^{i-1} a_i x_0^{i-1-k} x^k = P(x)(x-x_0) $$

Por lo tanto, $P(x)=\sum_{i=1}^n \sum_{k=0}^{i-1} a_i x_0^{i-1-k} x^k$ y $Q(x)=\sum_{i=0}^n a_i x_0^i$ Es decir, que $$f(x) = (x-x_0) \left(\sum_{i=1}^n \sum_{k=0}^{i-1} a_i x_0^{i-1-k} x^k + \frac{\sum_{i=0}^n a_i x_0^i}{x-x_0} \right) $$