La definición de un coeficiente de colector de encolado

Question

Estoy tratando de encontrar las condiciones en el encolado de mapa entre dos colectores de modo que el cociente espacio será un suave colector, y la inclusión mapa será una diffeomorphism. Específicamente,

Supongamos $U_j$ es un subconjunto abierto de un suave $m$-colector $M_j$$j \in \{1,2\}$, e $h: U_1 \to U_2$ es un diffeomorphism. Deje $\sim$ ser el más pequeño de equivalencia de la relación en la inconexión de la unión de $M_1 \sqcup M_2$ tal que $u \sim h(u)$ todos los $u\in U_1$. Deje $\bar{M} = (M_1 \sqcup M_2) / \sim$, definir $\pi:M_1\sqcup M_2 \to \bar{M}$ a ser el cociente mapa, y equipar $\bar{M}$ con el cociente de la topología. Encontrar las condiciones en $h$ tal que $\bar{M}$ admite que la estructura de un suave $m$-colector tal que

$$\pi|_{M_j}: (M_1 \sqcup M_2) \supset M_j \to \pi(M_j) \subset \bar{M}$$

es un diffeomorphism en un conjunto abierto de $\bar{M}$ $i\in \{1,2\}$.

Mi intento: Si $\{A_i, \phi_i \}$ es un atlas de las $M_1$ $\{B_j, \psi_j\}$ es un atlas de las $M_2$, estoy buscando una forma natural para definir un atlas $C_k, \zeta_k$$\bar{M}$. Si puedo encontrar, entonces la necesidad de demostrar que

$$\zeta_k \circ \pi_{M_1} \circ \phi_i^{-1}$$

es un diffeomorphism para todos $A_i$. $h$, Estoy pensando que, de alguna manera debe ser compatible con los gráficos de $\phi_i, \psi_j$$A_i \cap U_1$$B_j \cap U_2$. Pero aquí estoy un poco atascado. Alguna idea?

Answer 1

La cuestión es qué va a pasar en los límites de $U_j$. Deje $x$ ser un límite de punto de $U_1$. Si hay una secuencia $p_j$ $U$ tal que $p_j\to x$ $h(p_j)$ tiene un límite de $y\in M_2$, entonces el cociente de no ser un espacio de Hausdorff: $x$ $y$ no dispone de distintos barrios.

Por lo tanto, $h$ debe ser tal que la anterior no suceda. Aquí es una manera de formalizar esto: cada punto de $x\in \partial U_1$ debe tener un vecindario $V$ $M_1$ tal que el cierre de $h(V\cap U_1)$ $M_2$ está contenido en $U_2$. Y a la inversa, con $1$ $2$ intercambiados.

Ahora usted debería ser capaz de demostrar que la imagen de $V$ en el cociente es homeomórficos a $V$. En particular, el cociente es localmente un espacio Euclídeo (topológica del colector). Como por la suavidad, los cuadros que tienes en $M_1$ trabajará también en el cociente.

Puede ayudar, en primer lugar, un ejemplo concreto: los intervalos de $(0,2)$ $(5,7)$ pegado a lo largo de $h(x)=x+4$ donde$U_1=(1,2)$$U_2=(5,6)$.