Permutaciones: Si yo conozco a $\alpha$ y la estructura del ciclo de $\alpha\beta$, puedo encontrar $\gamma$ que $\gamma\beta$ también tiene esta estructura del ciclo?

Question

Supongamos que tenemos dos permutaciones $\alpha$ $\beta$ (de un conjunto $S$ del tamaño de la $|S|=n$), y sé que $\alpha$ y la estructura del ciclo de $\alpha\beta$. Pero no sé $\beta$.

Puedo encontrar una permutación $\gamma \neq \alpha$ tal que $\gamma\beta$ tiene la misma estructura del ciclo de $\alpha\beta$?

Esta es una vía de ataque para un secreto plan de participación en los que estoy pensando. Básicamente, quiero mentir acerca de mi permutación para engañar a otro participante.

Si lo anterior no es posible de manera determinista, podría elegir uno al azar. Puedo mejorar mi oportunidad más de picking uniformemente al azar, eligiendo $\gamma$ a tienen el mismo signo de $\alpha$. Puedo hacer mejor?

Tengo un ciclo particular de la estructura de la mente (dos $(n/2)$-ciclos), si hace alguna diferencia. En el secreto del sistema de reparto de $\beta$ es elegido uniformemente al azar de $\mathrm{Sym}(S)$.

Answer 1

No, eso no es posible con la excepción de $\gamma$ ser cambios cíclicos de $\alpha$ (que es esencialmente la misma permutación).

La razón es el conjunto de todas las permutaciones forma el grupo simétrico $S_n$ (donde $n$ es el tamaño de su alfabeto conjunto). Ahora que usted está tratando de $\gamma \beta = \alpha \beta$. Pero $\beta$ se tiene un inverso (ya que pertenece al grupo $S_n$) por la cancelación de la ley obliga a tener $\alpha=\gamma$.

Sin embargo, si usted desea $\beta\gamma = \alpha \beta$, entonces usted puede ir con cualquier conjugados de $\alpha$.